Даны функции f(x) = |x² - 4x + 3| и g(x) = x² - 6|x| + 8. Найди область определения, область значений, нули функции, промежутки возрастания и убывания.

Привет! Давай разберем функции $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ и $g(x) = x^2 - 6|x| + 8$. * **Область определения:** * Для $f(x)$: Так как у нас модуль, то ограничений нет. $x$ может быть любым числом. Значит, область определения – все действительные числа, или $(-\infty; +\infty)$. * Для $g(x)$: Здесь тоже нет никаких проблем, $x$ может быть любым, так как модуль всегда определен. Область определения тоже $(-\infty; +\infty)$. * **Область значений:** * Для $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$: * Сначала рассмотрим функцию без модуля: $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $x_в = -(-4) / (2*1) = 2$. $y_в = 2^2 - 4*2 + 3 = -1$. * Так как у нас модуль, все значения $y$, которые были отрицательными, станут положительными. Значит, наименьшее значение функции станет 0, а дальше функция пойдет вверх. Область значений: $[0; +\infty)$. * Для $g(x) = x^2 - 6|x| + 8$: * Эта функция симметрична относительно оси $y$, поэтому рассмотрим $x >= 0$: $g(x) = x^2 - 6x + 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы: $x_в = -(-6) / (2*1) = 3$. $y_в = 3^2 - 6*3 + 8 = -1$. * Так как функция симметрична, то при $x < 0$ будет то же самое. Наименьшее значение функции -1. Область значений: $[-1; +\infty)$. * **Нули функции:** * Для $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$: Нужно решить уравнение $|x^2 - 4x + 3| = 0$. Это возможно, только если $x^2 - 4x + 3 = 0$. Разложим на множители: $(x-1)(x-3) = 0$. Значит, $x = 1$ или $x = 3$. * Для $g(x) = x^2 - 6|x| + 8$: Нужно решить уравнение $x^2 - 6|x| + 8 = 0$. Рассмотрим два случая: * Если $x >= 0$, то $x^2 - 6x + 8 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Корни: $x = 2$ и $x = 4$. * Если $x < 0$, то $x^2 + 6x + 8 = 0$. Корни: $x = -2$ и $x = -4$. * **Промежутки возрастания и убывания:** * Для $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$: * Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 3$. Она убывает до вершины (точка $x = 2$), а затем возрастает. Но у нас модуль, поэтому когда функция становится отрицательной, она отражается относительно оси $x$. * Функция убывает на $(-\infty; 1]$, возрастает на $[1; 2]$, убывает на $[2; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$. * Для $g(x) = x^2 - 6|x| + 8$: * Рассмотрим функцию при $x >= 0$: $g(x) = x^2 - 6x + 8$. Она убывает до вершины (точка $x = 3$), а затем возрастает. * Так как функция четная (симметрична относительно оси $y$), то при $x < 0$ она будет возрастать до $x = 0$, а затем убывать. Функция возрастает на $(-\infty; -3]$, убывает на $[-3; 0]$, убывает на $[0; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$. Вот и всё! Если что-то непонятно, спрашивай!