Найди углы равнобедренной трапеции, если один из её углов равен 30°.

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма всех углов трапеции равна $360^\circ$. Если один из углов равен $30^\circ$, то противолежащий ему угол равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Тогда два угла трапеции равны $30^\circ$, а два других угла равны $150^\circ$. 2. Пусть одна часть составляет $x$ см. Тогда стороны параллелограмма равны $3x$ и $x$. Периметр параллелограмма равен $2(3x + x) = 8x$. По условию, периметр равен 40 см, значит, $8x = 40$, откуда $x = 5$. Таким образом, стороны параллелограмма равны $3x = 3 \cdot 5 = 15$ см и $x = 5$ см. 3. В прямоугольной трапеции два угла прямые (по $90^\circ$). Сумма углов при меньшем основании равна $248^\circ$. Значит, один из этих углов равен $90^\circ$, а другой $248^\circ - 90^\circ = 158^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Тогда угол при большем основании, прилежащий к той же стороне, что и угол $158^\circ$, равен $180^\circ - 158^\circ = 22^\circ$. Четвертый угол трапеции равен $90^\circ$. Итак, углы трапеции равны $90^\circ$, $90^\circ$, $158^\circ$ и $22^\circ$. 4. **Допущение:** Угол $ABM$ равен $30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. В нём $\angle ABM = 30^\circ$. Так как $BM$ - высота ромба, то $\angle AMB = 90^\circ$. Тогда $\angle BAM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOC$, где $O$ - точка пересечения диагоналей ромба. В нём $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. $OC$ является катетом, лежащим против угла $30^\circ$, значит, $OC = \frac{1}{2} AB$, откуда $AB = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3 = 6$ см. В прямоугольном треугольнике $ABM$ катет $AM$ лежит против угла $30^\circ$, следовательно, $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.