Вычисли значения выражений: cos 105° + cos 75°

Конечно, сейчас помогу! 1) Давай вычислим $\cos(105^\circ) + \cos(75^\circ)$. Используем формулу для суммы косинусов: $\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos(\frac{a+b}{2}) \cos(\frac{a-b}{2})$. Тогда: $$\cos(105^\circ) + \cos(75^\circ) = 2 \cos(\frac{105^\circ + 75^\circ}{2}) \cos(\frac{105^\circ - 75^\circ}{2}) = 2 \cos(90^\circ) \cos(15^\circ) = 2 \cdot 0 \cdot \cos(15^\circ) = 0$$ **Ответ: 0** 2) Теперь вычислим $\sin(105^\circ) - \sin(75^\circ)$. Используем формулу для разности синусов: $\sin(a) - \sin(b) = 2 \cos(\frac{a+b}{2}) \sin(\frac{a-b}{2})$. Тогда: $$\sin(105^\circ) - \sin(75^\circ) = 2 \cos(\frac{105^\circ + 75^\circ}{2}) \sin(\frac{105^\circ - 75^\circ}{2}) = 2 \cos(90^\circ) \sin(15^\circ) = 2 \cdot 0 \cdot \sin(15^\circ) = 0$$ **Ответ: 0** 3) Вычислим $\cos(\frac{11\pi}{12}) + \cos(\frac{5\pi}{12})$. Используем формулу для суммы косинусов: $$\cos(\frac{11\pi}{12}) + \cos(\frac{5\pi}{12}) = 2 \cos(\frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2}) \cos(\frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}) = 2 \cos(\frac{16\pi}{24}) \cos(\frac{6\pi}{24}) = 2 \cos(\frac{2\pi}{3}) \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ **Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$** 4) Теперь вычислим $\cos(\frac{11\pi}{12}) - \cos(\frac{5\pi}{12})$. Используем формулу для разности косинусов: $\cos(a) - \cos(b) = -2 \sin(\frac{a+b}{2}) \sin(\frac{a-b}{2})$. Тогда: $$\cos(\frac{11\pi}{12}) - \cos(\frac{5\pi}{12}) = -2 \sin(\frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2}) \sin(\frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}) = -2 \sin(\frac{16\pi}{24}) \sin(\frac{6\pi}{24}) = -2 \sin(\frac{2\pi}{3}) \sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$$ **Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$** 5) Вычислим $\sin(\frac{7\pi}{12}) - \sin(\frac{\pi}{12})$. Используем формулу для разности синусов: $\sin(a) - \sin(b) = 2 \cos(\frac{a+b}{2}) \sin(\frac{a-b}{2})$. Тогда: $$\sin(\frac{7\pi}{12}) - \sin(\frac{\pi}{12}) = 2 \cos(\frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2}) \sin(\frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2}) = 2 \cos(\frac{8\pi}{24}) \sin(\frac{6\pi}{24}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$** 6) Вычислим $\sin(105^\circ) + \sin(165^\circ)$. Используем формулу для суммы синусов: $\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin(\frac{a+b}{2}) \cos(\frac{a-b}{2})$. Тогда: $$\sin(105^\circ) + \sin(165^\circ) = 2 \sin(\frac{105^\circ + 165^\circ}{2}) \cos(\frac{105^\circ - 165^\circ}{2}) = 2 \sin(135^\circ) \cos(-30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ **Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$**