Помоги решить уравнение с дробями: (3x-1)/(x+2) - 7/(2+x) = (7x²-28)/(x²-4) + 18/(2-x)

Question

Вопрос:

Помоги решить уравнение с дробями: (3x-1)/(x+2) - 7/(2+x) = (7x²-28)/(x²-4) + 18/(2-x)

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Сначала перепишем уравнение, чтобы было удобнее работать: $$\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$$ Заметим, что $x^2 - 4$ можно разложить как $(x+2)(x-2)$. Ещё, давай изменим знак у последней дроби, чтобы получить одинаковый знаменатель: $$\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{x+2} = \frac{7x^2-28}{(x+2)(x-2)} - \frac{18}{x-2}$$ Теперь приведём всё к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$. Для этого первую дробь умножим на $(x-2)$, а последнюю на $(x+2)$. Получим: $$\frac{(3x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{7(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{7x^2-28}{(x+2)(x-2)} - \frac{18(x+2)}{(x+2)(x-2)}$$ Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем от него избавиться и работать только с числителями: $$(3x-1)(x-2) - 7(x-2) = 7x^2-28 - 18(x+2)$$ Раскроем скобки: $$3x^2 - 6x - x + 2 - 7x + 14 = 7x^2 - 28 - 18x - 36$$ Приведём подобные члены: $$3x^2 - 14x + 16 = 7x^2 - 18x - 64$$ Перенесём всё в одну сторону, чтобы получилось квадратное уравнение: $$0 = 4x^2 + 4x - 80$$ Разделим обе части на 4, чтобы упростить уравнение: $$0 = x^2 + x - 20$$ Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или попробовать разложить на множители. В данном случае легко подобрать множители: $$0 = (x+5)(x-4)$$ Значит, $x = -5$ или $x = 4$. Теперь проверим, не обращают ли эти значения знаменатель в ноль. В исходном уравнении у нас были знаменатели $x+2$ и $2-x$. Значит, $x$ не должен быть равен $-2$ и $2$. Оба наших корня удовлетворяют этому условию. **Ответ: $x = -5$ или $x = 4$**

Помоги решить уравнение с дробями: (3x-1)/(x+2) - 7/(2+x) = (7x²-28)/(x²-4) + 18/(2-x)

Ответ ассистента

Другие решения