Ты просишь меня решить несколько математических заданий: в первых четырёх нужно вставить пропущенные числа, в следующих трёх применить рациональный счёт, а в последних трёх выразить переменную из формулы.

Конечно, сейчас помогу! 1) Чтобы решить первое задание, нужно найти такое число, чтобы после умножения $\sqrt{5^3} \cdot \sqrt{2}$ на это число получилось 50. Давай упростим выражение сначала: $\sqrt{5^3} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ Тогда все выражение выглядит так: $5\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot x = 50$ $5\sqrt{10} \cdot x = 50$ $x = \frac{50}{5\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ **Ответ: $\sqrt{10}$** 2) Во втором задании нужно найти такое число, чтобы после деления $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}}{x}$ получилось 3. Сначала упростим числитель: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 21} = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ Теперь уравнение выглядит так: $\frac{3\sqrt{7}}{x} = 3$ $x = \frac{3\sqrt{7}}{3} = \sqrt{7}$ **Ответ: $\sqrt{7}$** 3) В третьем задании нужно найти степень $n$, чтобы выполнялось равенство $n^3 \cdot (n^x)^2 = n^{13}$. $(n^x)^2 = n^{2x}$ Теперь уравнение выглядит так: $n^3 \cdot n^{2x} = n^{13}$ Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $n^{3 + 2x} = n^{13}$ Значит: $3 + 2x = 13$ $2x = 10$ $x = 5$ **Ответ: 5** 4) В четвертом задании нужно найти такое выражение, чтобы выполнялось равенство $\frac{21a - 1}{3a} = x - \frac{1}{3a}$. $\frac{21a - 1}{3a} = \frac{21a}{3a} - \frac{1}{3a} = 7 - \frac{1}{3a}$ Значит, $x = 7$. **Ответ: 7** 5) В пятом задании нужно применить рациональный счет к выражению $67,81^2 - 32,19^2$. Это можно сделать, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. $67,81^2 - 32,19^2 = (67,81 - 32,19)(67,81 + 32,19) = (35,62)(100) = 3562$ **Ответ: 3562** 6) В шестом задании нужно упростить выражение $11,4^2 + 22,8 \cdot 5,6 + 5,6^2$. Заметим, что $22,8 = 2 \cdot 11,4$. Тогда выражение можно переписать как: $11,4^2 + 2 \cdot 11,4 \cdot 5,6 + 5,6^2$ Это похоже на формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 11,4$ и $b = 5,6$. $(11,4 + 5,6)^2 = 17^2 = 289$ **Ответ: 289** 7) В седьмом задании нужно упростить выражение $\frac{16,47^3 - 6,47^3}{16,47^2 + 16,47 \cdot 6,47 + 6,47^2}$. Это похоже на формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. $\frac{16,47^3 - 6,47^3}{16,47^2 + 16,47 \cdot 6,47 + 6,47^2} = \frac{(16,47 - 6,47)(16,47^2 + 16,47 \cdot 6,47 + 6,47^2)}{16,47^2 + 16,47 \cdot 6,47 + 6,47^2} = 16,47 - 6,47 = 10$ **Ответ: 10** 8) В восьмом задании нужно выразить $R$ из формулы $S = \pi(R^2 - r^2)$. $\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$ $R^2 = \frac{S}{\pi} + r^2$ $R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$ **Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$** 9) В девятом задании нужно выразить $h$ из формулы $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$. $3V = \pi R^2 h$ $h = \frac{3V}{\pi R^2}$ **Ответ: $h = \frac{3V}{\pi R^2}$** 10) В десятом задании нужно выразить $\alpha$ из формулы $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$. $360S = \pi R^2 \alpha$ $\alpha = \frac{360S}{\pi R^2}$ **Ответ: $\alpha = \frac{360S}{\pi R^2}$**