Найди разложение вектора c = {11; -6; 5} по базису p, q, r

Привет! Давай разберемся, как разложить вектор \( \vec{c} \) по базису из векторов \( \vec{p} \), \( \vec{q} \) и \( \vec{r} \). Это значит, что нам нужно найти такие числа \( x \), \( y \) и \( z \), чтобы выполнялось равенство: $$\vec{c} = x \cdot \vec{p} + y \cdot \vec{q} + z \cdot \vec{r}$$ В нашем случае векторы заданы координатами: \begin{align*} \vec{p} &= (3, -2, 1) \\ \vec{q} &= (-1, 1, -2) \\ \vec{r} &= (2, 1, -3) \\ \vec{c} &= (11, -6, 5) \end{align*} Подставим координаты векторов в наше равенство: $$(11, -6, 5) = x(3, -2, 1) + y(-1, 1, -2) + z(2, 1, -3)$$ Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений: \begin{cases} 3x - y + 2z = 11 \\ -2x + y + z = -6 \\ x - 2y - 3z = 5 \end{cases} Решим эту систему уравнений. Сначала выразим \( y \) из второго уравнения: $$y = 2x - z - 6$$ Подставим это выражение в первое и третье уравнения: \begin{cases} 3x - (2x - z - 6) + 2z = 11 \\ x - 2(2x - z - 6) - 3z = 5 \end{cases} Упростим систему: \begin{cases} x + 3z = 5 \\ -3x - z = -7 \end{cases} Теперь выразим \( x \) из первого уравнения: $$x = 5 - 3z$$ И подставим это вo второе уравнение: $$-3(5 - 3z) - z = -7$$ Решаем относительно \( z \): $$-15 + 9z - z = -7 \\ 8z = 8 \\ z = 1$$ Теперь найдем \( x \): $$x = 5 - 3(1) = 2$$ И, наконец, найдем \( y \): $$y = 2(2) - 1 - 6 = -3$$ Таким образом, разложение вектора \( \vec{c} \) по базису \( \vec{p}, \vec{q}, \vec{r} \) имеет вид: $$\vec{c} = 2 \cdot \vec{p} - 3 \cdot \vec{q} + 1 \cdot \vec{r}$$ **Ответ:** \( \vec{c} = 2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r} \)