Реши пример: √a * ⁶√a при a = 0,09

Конечно, давай разберёмся с этими заданиями по порядку! **61. Найти значение выражения** 1) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$ при $a = 0,09$ Чтобы решить это, сначала нужно вспомнить, что такое корень. Корень - это как бы обратное действие возведению в степень. Например, квадратный корень из числа - это такое число, которое, если его умножить само на себя, даст исходное число. Кубический корень - это число, которое нужно умножить само на себя три раза. А еще, корни можно записывать в виде степеней с дробными показателями. Вот так: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ $\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}$ Тогда наше выражение будет выглядеть так: $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$ Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$ То есть, нам нужно найти квадратный корень из $a$, а $a = 0,09$. Квадратный корень из 0,09 это 0,3, потому что $0,3 \cdot 0,3 = 0,09$. **Ответ: 0,3** 2) $\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}$ при $b = 27$ Деление степеней с одинаковым основанием: показатели вычитаются $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$ $\sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{6}}$ $b^{\frac{1}{2}} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{3}{6} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{2}{6}} = b^{\frac{1}{3}}$ То есть, нужно найти кубический корень из 27. Какое число нужно умножить само на себя три раза, чтобы получилось 27? Это число 3, потому что $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. **Ответ: 3** 3) $\frac{\sqrt[3]{b \sqrt{b^2}}}{\sqrt[6]{b}}$ при $b = 1,3$ $\sqrt{b^2} = |b|$. Так как $b = 1,3$, то $\sqrt{b^2} = b$ $\sqrt[3]{b \sqrt{b^2}} = \sqrt[3]{b \cdot b} = \sqrt[3]{b^2} = b^{\frac{2}{3}}$ $\frac{\sqrt[3]{b \sqrt{b^2}}}{\sqrt[6]{b}} = \frac{b^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}} = b^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{4}{6} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{3}{6}} = b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b} = \sqrt{1,3} \approx 1,14$ **Ответ: 1,14** 4) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5}$ при $a = 2,7$ $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$ $\sqrt[12]{a^5} = a^{\frac{5}{12}}$ $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{5}{12}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}} = a^{\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12}} = a^{\frac{12}{12}} = a^1 = a = 2,7$ **Ответ: 2,7** **62. Представить в виде степени с рациональным показателем** 1) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}} = a^{\frac{7}{12}}$ **Ответ: $a^{\frac{7}{12}}$** 2) $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^3 \cdot \sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{2}} \cdot b^3 \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} + 3 + \frac{1}{6}} = b^{\frac{3}{6} + \frac{18}{6} + \frac{1}{6}} = b^{\frac{22}{6}} = b^{\frac{11}{3}}$ **Ответ: $b^{\frac{11}{3}}$** 3) $\frac{b^{\frac{1}{3}}}{b^6} = b^{\frac{1}{3} - 6} = b^{\frac{1}{3} - \frac{18}{3}} = b^{-\frac{17}{3}}$ **Ответ: $b^{-\frac{17}{3}}$** 4) $\frac{a^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a}} = \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{3}} = a^1 = a$ **Ответ: $a$** 5) $x^{1,7} \cdot x^{2,8} : \sqrt{x^5} = x^{1,7} \cdot x^{2,8} : x^{\frac{5}{2}} = x^{1,7 + 2,8 - 2,5} = x^{4,5 - 2,5} = x^2$ **Ответ: $x^2$** 6) $y^{-3,8} : y^{-2,3} \cdot \sqrt[3]{y} = y^{-3,8 - (-2,3)} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-3,8 + 2,3} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-1,5} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-1,5 + \frac{1}{3}} = y^{-\frac{3}{2} + \frac{1}{3}} = y^{-\frac{9}{6} + \frac{2}{6}} = y^{-\frac{7}{6}}$ **Ответ: $y^{-\frac{7}{6}}$**