На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечена точка M так, что AM : BM = 1 : 3. Найди отрезок CM, если AC = BC = 4 см

Разберём задачу вместе! 1. **Найдём гипотенузу AB.** Так как треугольник ABC прямоугольный и AC = BC = 4 см, то по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$$ 2. **Найдём длины отрезков AM и BM.** Из условия AM : BM = 1 : 3 следует, что AM составляет $\frac{1}{4}$ часть AB, а BM - $\frac{3}{4}$ части AB. Тогда: $$AM = \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \cdot 4\sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ см}$$ $$BM = \frac{3}{4} AB = \frac{3}{4} \cdot 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$$ 3. **Найдём отрезок CM.** Для этого рассмотрим треугольник CMB. В нём известны стороны CB = 4 см и BM = $3\sqrt{2}$ см. Также, так как треугольник ABC равнобедренный, то угол CBA равен 45 градусов. Применим теорему косинусов для треугольника CMB: $$CM^2 = CB^2 + BM^2 - 2 \cdot CB \cdot BM \cdot \cos(\angle CBA)$$ $$CM^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$$ $$CM^2 = 16 + 18 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 34 - 24 = 10$$ $$CM = \sqrt{10} \text{ см}$$ **Ответ: $\sqrt{10}$ см**