Можешь решить задания из контрольной работы по алгебре за 8 класс?

Вариант 1. 1. a) Чтобы упростить выражение $3a^2b \cdot (-5a^3b)$, перемножим числовые коэффициенты и сложим степени одинаковых переменных: $$3 \cdot (-5) \cdot a^{2+3} \cdot b^{1+1} = -15a^5b^2$$ б) Чтобы упростить выражение $(2x^2y)^3$, возведем каждый множитель внутри скобок в степень 3: $$(2x^2y)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 8x^6y^3$$ 2. Чтобы преобразовать выражение $(a+6)^2 - 2a(3-2a)$ в многочлен, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и распределительное свойство: $$(a+6)^2 - 2a(3-2a) = (a^2 + 12a + 36) - (6a - 4a^2) = a^2 + 12a + 36 - 6a + 4a^2$$ Теперь приведем подобные слагаемые: $$a^2 + 4a^2 + 12a - 6a + 36 = 5a^2 + 6a + 36$$ 3. Чтобы решить уравнение $3x - 5(2x+1) = 3(3-2x)$, сначала раскроем скобки: $$3x - 10x - 5 = 9 - 6x$$ Теперь соберем все члены с $x$ в одной стороне уравнения, а числа - в другой: $$3x - 10x + 6x = 9 + 5$$ $$-x = 14$$ $$x = -14$$ 4. a) Чтобы разложить на множители выражение $x^2 - 5x$, вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$x^2 - 5x = x(x - 5)$$ б) Чтобы разложить на множители выражение $y^2 - 25$, воспользуемся формулой разности квадратов: $$y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$$ в) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 + 12a + 36$, заметим, что это полный квадрат: $$a^2 + 12a + 36 = (a + 6)^2$$ г) Чтобы разложить на множители выражение $ax - ay + 5x - 5y$, сгруппируем члены и вынесем общие множители: $$ax - ay + 5x - 5y = a(x - y) + 5(x - y) = (a + 5)(x - y)$$ 5. Чтобы построить график функции $y = -\frac{1}{3}x + 1$, найдем точки пересечения с осями координат. С осью $y$ (при $x=0$): $$y = -\frac{1}{3}(0) + 1 = 1$$ Точка пересечения с осью $y$: $(0, 1)$. С осью $x$ (при $y=0$): $$0 = -\frac{1}{3}x + 1$$ $$\frac{1}{3}x = 1$$ $$x = 3$$ Точка пересечения с осью $x$: $(3, 0)$. 6. Чтобы вычислить значение выражения $\frac{49^4 \cdot 7^5}{7^{12}}$, представим $49$ как $7^2$: $$\frac{(7^2)^4 \cdot 7^5}{7^{12}} = \frac{7^8 \cdot 7^5}{7^{12}} = \frac{7^{13}}{7^{12}} = 7^{13-12} = 7^1 = 7$$ 7. Пусть $v$ - собственная скорость лодки. Тогда скорость лодки против течения будет $v - 3$, а по течению $v + 3$. Зная, что время, умноженное на скорость, равно расстоянию, составим систему уравнений: \begin{cases} 3(v - 3) + 2(v + 3) = 32 \end{cases} Раскроем скобки: $$3v - 9 + 2v + 6 = 32$$ $$5v - 3 = 32$$ $$5v = 35$$ $$v = 7$$ **Ответы:** Вариант 1. 1. a) $-15a^5b^2$, б) $8x^6y^3$ 2. $5a^2 + 6a + 36$ 3. $x = -14$ 4. a) $x(x-5)$, б) $(y-5)(y+5)$, в) $(a+6)^2$, г) $(a+5)(x-y)$ 5. $(0, 1)$, $(3, 0)$ 6. 7 7. 7 км/ч Вариант 2. 1. a) Чтобы упростить выражение $-2xy^2 \cdot 3x^3y^5$, перемножим числовые коэффициенты и сложим степени одинаковых переменных: $$-2 \cdot 3 \cdot x^{1+3} \cdot y^{2+5} = -6x^4y^7$$ б) Чтобы упростить выражение $(-4ab^3)^2$, возведем каждый множитель внутри скобок в степень 2: $$(-4ab^3)^2 = (-4)^2 \cdot a^2 \cdot (b^3)^2 = 16a^2b^6$$ 2. Чтобы преобразовать выражение $(x-2)^2 - (x-1)(x+2)$ в многочлен, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и разность квадратов: $$(x-2)^2 - (x-1)(x+2) = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2$$ Теперь приведем подобные слагаемые: $$x^2 - x^2 - 4x - x + 4 + 2 = -5x + 6$$ 3. Чтобы решить уравнение $4(1-5x) = 9 - 3(6x - 5)$, сначала раскроем скобки: $$4 - 20x = 9 - 18x + 15$$ Теперь соберем все члены с $x$ в одной стороне уравнения, а числа - в другой: $$-20x + 18x = 9 + 15 - 4$$ $$-2x = 20$$ $$x = -10$$ 4. a) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 - 6a$, вынесем общий множитель $a$ за скобки: $$a^2 - 6a = a(a - 6)$$ б) Чтобы разложить на множители выражение $x^2 - 49$, воспользуемся формулой разности квадратов: $$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$$ в) Чтобы разложить на множители выражение $y^2 + 6y + 9$, заметим, что это полный квадрат: $$y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2$$ г) Чтобы разложить на множители выражение $2a - 2b + ca - cb$, сгруппируем члены и вынесем общие множители: $$2a - 2b + ca - cb = 2(a - b) + c(a - b) = (2 + c)(a - b)$$ 5. Чтобы построить график функции $y = 0.5x - 2$, найдем точки пересечения с осями координат. С осью $y$ (при $x=0$): $$y = 0.5(0) - 2 = -2$$ Точка пересечения с осью $y$: $(0, -2)$. С осью $x$ (при $y=0$): $$0 = 0.5x - 2$$ $$0.5x = 2$$ $$x = 4$$ Точка пересечения с осью $x$: $(4, 0)$. 6. Чтобы вычислить значение выражения $\frac{125^2 \cdot 5^6}{25^4}$, представим $125$ как $5^3$ и $25$ как $5^2$: $$\frac{(5^3)^2 \cdot 5^6}{(5^2)^4} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^8} = \frac{5^{12}}{5^8} = 5^{12-8} = 5^4 = 625$$ 7. Пусть $v$ - собственная скорость лодки. Тогда время, умноженное на скорость, равно расстоянию. Лодка плыла 4 часа по озеру (то есть со своей скоростью $v$) и 5 часов против течения (со скоростью $v - 3$). Составим уравнение: $$4v + 5(v - 3) = 30$$ Раскроем скобки: $$4v + 5v - 15 = 30$$ $$9v = 45$$ $$v = 5$$ **Ответы:** Вариант 2. 1. a) $-6x^4y^7$, б) $16a^2b^6$ 2. $-5x + 6$ 3. $x = -10$ 4. a) $a(a-6)$, б) $(x-7)(x+7)$, в) $(y+3)^2$, г) $(2+c)(a-b)$ 5. $(0, -2)$, $(4, 0)$ 6. 625 7. 5 км/ч