Докажи, что четырёхугольник APCQ – параллелограмм, если на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB = QD

Конечно, давай разберём эту задачу по геометрии! **Дано:** * ABCD – параллелограмм. * Точки P и Q на диагонали BD, причём $PB = QD$. **Что нужно доказать:** * APCQ – параллелограмм. **Доказательство:** 1. **Вспоминаем свойства параллелограмма:** * Противоположные стороны параллельны и равны. * Диагонали в точке пересечения делятся пополам. 2. **Чертим параллелограмм ABCD и отмечаем точки P и Q на диагонали BD так, чтобы выполнялось условие $PB = QD$:** 3. **Рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle CDQ$:** * $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма). * $\angle ABP = \angle CDQ$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD). * $PB = QD$ (по условию). 4. **Делаем вывод о равенстве треугольников:** * $\triangle ABP = \triangle CDQ$ (по первому признаку равенства треугольников – две стороны и угол между ними). 5. **Из равенства треугольников следует равенство сторон:** * $AP = CQ$ (как соответственные элементы в равных треугольниках). * $\angle BAP = \angle DCQ$ 6. **Аналогично доказываем равенство треугольников $\triangle CBQ$ и $\triangle ADP$:** * $BC = AD$ (как противоположные стороны параллелограмма). * $\angle CBQ = \angle ADP$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). * $BQ = DP$ (так как $BD = BP + PQ + QD = PQ + 2QD$, $BD = BQ + PQ + DP = PQ + 2BP$, и $BP = QD$ по условию, то $DP = BQ$). 7. **Делаем вывод о равенстве треугольников:** * $\triangle CBQ = \triangle ADP$ (по первому признаку равенства треугольников). 8. **Из равенства треугольников следует равенство сторон:** * $AQ = CP$ (как соответственные элементы в равных треугольниках). * $\angle BCQ = \angle DAP$ 9. **Вспоминаем признак параллелограмма:** * Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 10. **Делаем окончательный вывод:** * Так как в четырёхугольнике APCQ стороны AP = CQ и AQ = CP, то APCQ – параллелограмм. Что и требовалось доказать! В общем, мы доказали, что если в параллелограмме на диагонали отметить две точки так, что они будут равноудалены от концов диагонали, то получится новый параллелограмм, образованный этими точками и вершинами исходного параллелограмма. **Ответ:** Четырёхугольник APCQ – параллелограмм.