Ты просишь доказать, что функция f(x) = 5/(4-x) возрастает на промежутке (4; +∞) и g(x) = 4/(3x+1) убывает на промежутке (-∞; -1/3)

Чтобы доказать, что функция возрастает или убывает на определенном промежутке, нужно сравнить значения функции в двух разных точках этого промежутка. Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция возрастает. Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция убывает. a) Пусть $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(4; +\[Infinity])$. И пусть $x_1 < x_2$. Нужно доказать, что $f(x_1) < f(x_2)$. $f(x_1) = \frac{5}{4 - x_1}$ $f(x_2) = \frac{5}{4 - x_2}$ Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$: $f(x_2) - f(x_1) = \frac{5}{4 - x_2} - \frac{5}{4 - x_1} = \frac{5(4 - x_1) - 5(4 - x_2)}{(4 - x_2)(4 - x_1)} = \frac{20 - 5x_1 - 20 + 5x_2}{(4 - x_2)(4 - x_1)} = \frac{5(x_2 - x_1)}{(4 - x_2)(4 - x_1)}$ Так как $x_1 < x_2$, то $x_2 - x_1 > 0$. Так как $x_1 > 4$ и $x_2 > 4$, то $4 - x_1 < 0$ и $4 - x_2 < 0$. Значит, $(4 - x_2)(4 - x_1) > 0$. Тогда, $\frac{5(x_2 - x_1)}{(4 - x_2)(4 - x_1)} > 0$. Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, то есть $f(x_2) > f(x_1)$. Это означает, что функция $f(x) = \frac{5}{4 - x}$ возрастает на промежутке $(4; +\[Infinity])$. б) Пусть $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; -\frac{1}{3})$. И пусть $x_1 < x_2$. Нужно доказать, что $g(x_1) > g(x_2)$. $g(x_1) = \frac{4}{3x_1 + 1}$ $g(x_2) = \frac{4}{3x_2 + 1}$ Рассмотрим разность $g(x_2) - g(x_1)$: $g(x_2) - g(x_1) = \frac{4}{3x_2 + 1} - \frac{4}{3x_1 + 1} = \frac{4(3x_1 + 1) - 4(3x_2 + 1)}{(3x_2 + 1)(3x_1 + 1)} = \frac{12x_1 + 4 - 12x_2 - 4}{(3x_2 + 1)(3x_1 + 1)} = \frac{12(x_1 - x_2)}{(3x_2 + 1)(3x_1 + 1)}$ Так как $x_1 < x_2$, то $x_1 - x_2 < 0$. Так как $x_1 < -\frac{1}{3}$ и $x_2 < -\frac{1}{3}$, то $3x_1 < -1$ и $3x_2 < -1$, значит $3x_1 + 1 < 0$ и $3x_2 + 1 < 0$. Тогда, $(3x_2 + 1)(3x_1 + 1) > 0$. Значит, $\frac{12(x_1 - x_2)}{(3x_2 + 1)(3x_1 + 1)} < 0$. Следовательно, $g(x_2) - g(x_1) < 0$, то есть $g(x_2) < g(x_1)$. Это означает, что функция $g(x) = \frac{4}{3x + 1}$ убывает на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{3})$.