Укажи промежуток, содержащий отрицательный корень уравнения \frac{31}{x+5} - \frac{11}{x+3} = 2.

Конечно, давай решим эти задания вместе! 1. Сначала упростим уравнение: $\frac{31}{x+5} - \frac{11}{x+3} = 2$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{31(x+3) - 11(x+5)}{(x+5)(x+3)} = 2$$ $$\frac{31x + 93 - 11x - 55}{x^2 + 8x + 15} = 2$$ $$\frac{20x + 38}{x^2 + 8x + 15} = 2$$ $$20x + 38 = 2(x^2 + 8x + 15)$$ $$20x + 38 = 2x^2 + 16x + 30$$ $$2x^2 - 4x - 8 = 0$$ $$x^2 - 2x - 4 = 0$$ Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 4 = 0$ через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20$ $x_1 = \frac{2 + \sqrt{20}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$ $x_2 = \frac{2 - \sqrt{20}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$ Отрицательный корень $x_2 \approx -1.236$ находится в интервале $(-2; -1)$. **Правильный ответ: 1** 2. Решим неравенство $\frac{49 - 4x^2}{x - 5} \le 0$. Разложим числитель на множители: $49 - 4x^2 = (7 - 2x)(7 + 2x)$. Тогда неравенство можно переписать как $\frac{(7 - 2x)(7 + 2x)}{x - 5} \le 0$. Найдем нули числителя и знаменателя: $7 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$ $7 + 2x = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3.5$ $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ Теперь отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(-3.5)----(3.5)----(5)----> Рассмотрим интервалы: - $x < -3.5$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$ (подходит) - $-3.5 < x < 3.5$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$ (не подходит) - $3.5 < x < 5$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$ (подходит) - $x > 5$: $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$ (не подходит) Учтем, что неравенство нестрогое, поэтому точки -3.5 и 3.5 включаем в решение, а точку 5 исключаем (так как знаменатель не может быть равен нулю). Решение: $(-\infty; -3.5] \cup [3.5; 5)$. **Правильный ответ: 1** 3. Решим неравенство $\frac{x^3 - x^2}{x^2 - 1} \ge 0$. Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{x^2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \ge 0$ Сократим $(x - 1)$ при условии $x \ne 1$: $\frac{x^2}{x + 1} \ge 0$ Найдем нули числителя и знаменателя: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ Отметим эти точки на числовой прямой: ----(-1)----(0)----(1)----> Рассмотрим интервалы: - $x < -1$: $\frac{(+)}{(-)} < 0$ (не подходит) - $-1 < x < 0$: $\frac{(+)}{(+)} > 0$ (подходит) - $x > 0$: $\frac{(+)}{(+)} > 0$ (подходит) Учтем, что $x \ne 1$. Также учтем, что $x = 0$ подходит, так как неравенство нестрогое. Решение: $(-1; 1) \cup (1; +\infty)$. **Правильный ответ: 2** 4. Решим неравенство $\frac{22x}{x^2 + 6} \le x$. Перенесем все в одну сторону: $\frac{22x}{x^2 + 6} - x \le 0$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{22x - x(x^2 + 6)}{x^2 + 6} \le 0$ $\frac{22x - x^3 - 6x}{x^2 + 6} \le 0$ $\frac{-x^3 + 16x}{x^2 + 6} \le 0$ $\frac{x(-x^2 + 16)}{x^2 + 6} \le 0$ $\frac{x(16 - x^2)}{x^2 + 6} \le 0$ $\frac{x(4 - x)(4 + x)}{x^2 + 6} \le 0$ Найдем нули числителя: $x = 0$ $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$ $4 + x = 0 \Rightarrow x = -4$ Знаменатель $x^2 + 6$ всегда положителен, поэтому на знаки не влияет. Отметим точки на числовой прямой: ----(-4)----(0)----(4)----> Рассмотрим интервалы: - $x < -4$: $\frac{(-)(+)(-)}{(+)} > 0$ (не подходит) - $-4 < x < 0$: $\frac{(-)(+)(+)}{(+)} < 0$ (подходит) - $0 < x < 4$: $\frac{(+)(+)(+)}{(+)} > 0$ (не подходит) - $x > 4$: $\frac{(+)(-)(+)}{(+)} < 0$ (подходит) Решение: $[-4; 0] \cup [4; +\infty)$. **Правильный ответ: 3** 5. Решим уравнение $3x^2 - x - 18 + \frac{72}{3x^2 - x} = 0$. Заметим, что $3x^2 - x$ повторяется в уравнении. Пусть $t = 3x^2 - x$, тогда уравнение примет вид: $t - 18 + \frac{72}{t} = 0$ $t^2 - 18t + 72 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $D = (-18)^2 - 4(1)(72) = 324 - 288 = 36$ $t_1 = \frac{18 + \sqrt{36}}{2} = \frac{18 + 6}{2} = 12$ $t_2 = \frac{18 - \sqrt{36}}{2} = \frac{18 - 6}{2} = 6$ Вернемся к замене: 1) $3x^2 - x = 12$ $3x^2 - x - 12 = 0$ $D_1 = (-1)^2 - 4(3)(-12) = 1 + 144 = 145$ $x_1 = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}$ $x_2 = \frac{1 - \sqrt{145}}{6}$ 2) $3x^2 - x = 6$ $3x^2 - x - 6 = 0$ $D_2 = (-1)^2 - 4(3)(-6) = 1 + 72 = 73$ $x_3 = \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$ $x_4 = \frac{1 - \sqrt{73}}{6}$ Произведение корней: $x_1 \[CDATA[\cdot]] x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{1 + \sqrt{145}}{6} \cdot \frac{1 - \sqrt{145}}{6} \cdot \frac{1 + \sqrt{73}}{6} \cdot \frac{1 - \sqrt{73}}{6} = \frac{(1 - 145)(1 - 73)}{6^4} = \frac{(-144)(-72)}{1296} = \frac{10368}{1296} = 8$ **Ответ: 8**