Ты просишь меня найти область определения выражений 1.30 а), б), в), г) и 1.31 а), б), в), г)

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Они про то, когда выражения под корнем имеют смысл. Главное правило тут такое: под корнем не должно быть отрицательного числа. А ещё, если у нас дробь, то знаменатель не должен быть равен нулю. 1.30 При каких значениях x имеет смысл выражение: а) $\sqrt{\frac{2x + 4}{x^2 + 8x - 48}}$ Чтобы это выражение имело смысл, нужно, чтобы выполнялись два условия: * $\frac{2x + 4}{x^2 + 8x - 48} \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $x^2 + 8x - 48 \ne 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю) Решим сначала неравенство $\frac{2x + 4}{x^2 + 8x - 48} \ge 0$: * Разложим знаменатель на множители: $x^2 + 8x - 48 = (x - 4)(x + 12)$ * Теперь неравенство выглядит так: $\frac{2x + 4}{(x - 4)(x + 12)} \ge 0$ * Найдём нули числителя и знаменателя: $2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$, $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$, $x + 12 = 0 \Rightarrow x = -12$ * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(-12)----(-2)----(4)---- * Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $x \in (-12, -2] \cup (4, +\infty)$ Теперь учтём условие, что знаменатель не должен быть равен нулю: * $x \ne 4$ и $x \ne -12$ Объединяя все условия, получаем область определения выражения: **Ответ: $x \in (-12, -2] \cup (4, +\infty)$** б) $\sqrt{\frac{14-x^2 + 5x}{x+2}}$ Чтобы это выражение имело смысл, нужно, чтобы выполнялись два условия: * $\frac{14-x^2 + 5x}{x+2} \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $x+2 \ne 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю) Решим сначала неравенство $\frac{14-x^2 + 5x}{x+2} \ge 0$: * Умножим на -1, чтобы изменить знаки: $\frac{x^2 - 5x - 14}{x+2} \le 0$ * Разложим числитель на множители: $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)$ * Теперь неравенство выглядит так: $\frac{(x - 7)(x + 2)}{x+2} \le 0$ * Сокращаем (x+2) в числителе и знаменателе, получаем: $x-7 \le 0$ * Найдём нули числителя и знаменателя: $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$, $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(-2)----(7)---- * Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 7]$ Теперь учтём условие, что знаменатель не должен быть равен нулю: * $x \ne -2$ Объединяя все условия, получаем область определения выражения: **Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 7]$** в) $\sqrt{\frac{x^2 + 7x+10}{6-x}}$ Чтобы это выражение имело смысл, нужно, чтобы выполнялись два условия: * $\frac{x^2 + 7x+10}{6-x} \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $6-x \ne 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю) Решим сначала неравенство $\frac{x^2 + 7x+10}{6-x} \ge 0$: * Разложим числитель на множители: $x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$ * Теперь неравенство выглядит так: $\frac{(x + 2)(x + 5)}{6-x} \ge 0$ * Умножим на -1, чтобы изменить знаки: $\frac{(x + 2)(x + 5)}{x-6} \le 0$ * Найдём нули числителя и знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$, $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$, $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$ * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(-5)----(-2)----(6)---- * Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю: $x \in (-\infty, -5] \cup [-2, 6)$ Теперь учтём условие, что знаменатель не должен быть равен нулю: * $x \ne 6$ Объединяя все условия, получаем область определения выражения: **Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-2, 6)$** г) $\sqrt{\frac{x-3}{x^2 + 5x-24}}$ Чтобы это выражение имело смысл, нужно, чтобы выполнялись два условия: * $\frac{x-3}{x^2 + 5x-24} \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $x^2 + 5x-24 \ne 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю) Решим сначала неравенство $\frac{x-3}{x^2 + 5x-24} \ge 0$: * Разложим знаменатель на множители: $x^2 + 5x - 24 = (x - 3)(x + 8)$ * Теперь неравенство выглядит так: $\frac{x-3}{(x - 3)(x + 8)} \ge 0$ * Сокращаем (x-3) в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{1}{x + 8} \ge 0$ * Найдём нули числителя и знаменателя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$ * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(-8)---- * Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $x \in (-8, 3) \cup (3, +\infty)$ Теперь учтём условие, что знаменатель не должен быть равен нулю: * $x \ne 3$ и $x \ne -8$ Объединяя все условия, получаем область определения выражения: **Ответ: $x \in (-8, 3) \cup (3, +\infty)$** 1.31 Найдите область определения выражения: а) $\sqrt{\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}}$ Чтобы это выражение имело смысл, нужно, чтобы выполнялись два условия: * $\frac{x^2-9}{x^2-5x+6} \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $x^2-5x+6 \ne 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю) Решим сначала неравенство $\frac{x^2-9}{x^2-5x+6} \ge 0$: * Разложим числитель на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ * Разложим знаменатель на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ * Теперь неравенство выглядит так: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x - 3)} \ge 0$ * Найдём нули числителя и знаменателя: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$, $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$, $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(-3)----(2)----(3)---- * Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $x \in (-\infty, -3] \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$ Теперь учтём условие, что знаменатель не должен быть равен нулю: * $x \ne 2$ и $x \ne 3$ Объединяя все условия, получаем область определения выражения: **Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$** б) $\sqrt{\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x-6-x^2}}$ Чтобы это выражение имело смысл, нужно, чтобы выполнялись два условия: * $\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x-6-x^2} \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $5x-6-x^2 \ne 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю) Решим сначала неравенство $\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x-6-x^2} \ge 0$: * Разложим числитель на множители: $2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - \frac{1}{2})$ * Разложим знаменатель на множители: $5x-6-x^2 = -(x - 2)(x - 3)$ * Теперь неравенство выглядит так: $\frac{2(x - 2)(x - \frac{1}{2})}{-(x - 2)(x - 3)} \ge 0$ * Найдём нули числителя и знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$, $x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$, $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(1/2)----(2)----(3)---- * Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $x \in [\frac{1}{2}, 2) \cup (2, 3)$ Теперь учтём условие, что знаменатель не должен быть равен нулю: * $x \ne 2$ и $x \ne 3$ Объединяя все условия, получаем область определения выражения: **Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 2) \cup (2, 3)$** в) $\sqrt{\frac{2-x-x^2}{x^2-4}}$ Чтобы это выражение имело смысл, нужно, чтобы выполнялись два условия: * $\frac{2-x-x^2}{x^2-4} \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $x^2-4 \ne 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю) Решим сначала неравенство $\frac{2-x-x^2}{x^2-4} \ge 0$: * Разложим числитель на множители: $2-x-x^2 = -(x+2)(x-1)$ * Разложим знаменатель на множители: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ * Теперь неравенство выглядит так: $\frac{-(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+2)} \ge 0$ * Найдём нули числителя и знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$, $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$, $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(-2)----(1)----(2)---- * Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $x \in (-2,1] \cup (2, -\infty)$ Теперь учтём условие, что знаменатель не должен быть равен нулю: * $x \ne -2$ и $x \ne 2$ Объединяя все условия, получаем область определения выражения: **Ответ: $x \in (-2,1] \cup (2, -\infty)$** г) $\sqrt{\frac{3x^2+10x+3}{x^2 + 8x + 15}}$ Чтобы это выражение имело смысл, нужно, чтобы выполнялись два условия: * $\frac{3x^2+10x+3}{x^2 + 8x + 15} \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $x^2 + 8x + 15 \ne 0$ (знаменатель не должен быть равен нулю) Решим сначала неравенство $\frac{3x^2+10x+3}{x^2 + 8x + 15} \ge 0$: * Разложим числитель на множители: $3x^2+10x+3 = 3(x+\frac{1}{3})(x+3)$ * Разложим знаменатель на множители: $x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$ * Теперь неравенство выглядит так: $\frac{3(x+\frac{1}{3})(x+3)}{(x+3)(x+5)} \ge 0$ * Найдём нули числителя и знаменателя: $x + \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$, $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$, $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ * Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ----(-5)----(-3)----(-1/3)---- * Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, -\frac{1}{3}] \cup (5, +\infty)$ Теперь учтём условие, что знаменатель не должен быть равен нулю: * $x \ne -3$ и $x \ne -5$ Объединяя все условия, получаем область определения выражения: **Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, -\frac{1}{3}] \cup (5, +\infty)$**