Мне нужно вычислить скалярное произведение векторов: а) MN*C₁B₁

a) Давай разбираться с первым скалярным произведением: $\vec{MN} \cdot \vec{C_1B_1}$. Чтобы найти скалярное произведение, нужно знать координаты векторов. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$, где $M$ и $N$ – середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно, можно ввести систему координат. Пусть точка $A$ будет началом координат $(0, 0, 0)$. Тогда координаты точек будут такие: - $A(0, 0, 0)$ - $B(a, 0, 0)$ - $D(0, a, 0)$ - $C_1(a, a, a)$ - $B_1(a, 0, a)$ Так как $M$ и $N$ – середины $AB$ и $AD$, то их координаты: - $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$ - $N(0, \frac{a}{2}, 0)$ Теперь найдём координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{C_1B_1}$: - $\vec{MN} = N - M = (0 - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ - $\vec{C_1B_1} = B_1 - C_1 = (a - a, 0 - a, a - a) = (0, -a, 0)$ Скалярное произведение $\vec{MN} \cdot \vec{C_1B_1}$ равно сумме произведений соответствующих координат: $$\vec{MN} \cdot \vec{C_1B_1} = (-\frac{a}{2}) \cdot 0 + (\frac{a}{2}) \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = 0 - \frac{a^2}{2} + 0 = -\frac{a^2}{2}$$ б) Теперь давай вычислим скалярное произведение $\vec{C_1C} \cdot \vec{BA}$. Координаты точек: - $B(a, 0, 0)$ - $A(0, 0, 0)$ - $C_1(a, a, a)$ - $C(a, a, 0)$ Найдём координаты векторов $\vec{C_1C}$ и $\vec{BA}$: - $\vec{C_1C} = C - C_1 = (a - a, a - a, 0 - a) = (0, 0, -a)$ - $\vec{BA} = A - B = (0 - a, 0 - 0, 0 - 0) = (-a, 0, 0)$ Скалярное произведение $\vec{C_1C} \cdot \vec{BA}$: $$\vec{C_1C} \cdot \vec{BA} = 0 \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + (-a) \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0$$ **Ответ:** a) $-\frac{a^2}{2}$ б) $0$