Ты просишь найти наибольший общий делитель чисел, доказать, что числа взаимно простые, и сравнить дроби.

Задание 173. Найдите наибольший общий делитель чисел: a) $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$; Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД), нужно разложить оба числа на простые множители и взять только те, которые есть в обоих разложениях, в наименьшей степени. В данном случае: $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7$ $b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$ Общие множители: 3 и 5. Берем их в наименьших степенях: $3^1$ и $5^2$. Тогда НОД(a, b) = $3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$ б) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 3 \cdot 11 \cdot 13$. В данном случае: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ $b = 3 \cdot 11 \cdot 13$ Общий множитель: 3. Берем его в наименьшей степени: $3^1$. Тогда НОД(a, b) = $3$ **Ответ:** а) 75 б) 3 Задание 174. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 585 и 360; Чтобы найти НОД(585, 360), разложим каждое число на простые множители: $585 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13$ $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ Общие множители: 3 и 5. Берем их в наименьших степенях: $3^2$ и $5^1$. Тогда НОД(585, 360) = $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$ б) 680 и 612; Чтобы найти НОД(680, 612), разложим каждое число на простые множители: $680 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 17 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$ $612 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17$ Общие множители: 2 и 17. Берем их в наименьших степенях: $2^2$ и $17^1$. Тогда НОД(680, 612) = $2^2 \cdot 17 = 4 \cdot 17 = 68$ в) 60, 80 и 48; Чтобы найти НОД(60, 80, 48), разложим каждое число на простые множители: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ $80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$ $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$ Общие множители: 2. Берем их в наименьшей степени: $2^2$. Тогда НОД(60, 80, 48) = $2^2 = 4$ г) 195, 156 и 260. Чтобы найти НОД(195, 156, 260), разложим каждое число на простые множители: $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$ $156 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$ $260 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13 = 2^2 \cdot 5 \cdot 13$ Общие множители: 13. Берем их в наименьшей степени: $13^1$. Тогда НОД(195, 156, 260) = $13$ **Ответ:** а) 45 б) 68 в) 4 г) 13 Задание 175. Докажите, что числа 864 и 875 взаимно простые. Чтобы доказать, что числа 864 и 875 взаимно простые, нужно показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Разложим каждое число на простые множители: $864 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3^3$ $875 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 5^3 \cdot 7$ У чисел 864 и 875 нет общих простых множителей. Это значит, что их НОД равен 1. Следовательно, числа 864 и 875 взаимно простые. Задание 176. Сравните: а) $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{9}$; У этих дробей одинаковые знаменатели, поэтому можно просто сравнить числители. Так как $5 < 7$, то $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$. б) $1\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{8}$; Представим первую дробь в виде неправильной дроби: $1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$. Теперь сравним $\frac{11}{8}$ и $\frac{5}{8}$. У этих дробей одинаковые знаменатели, поэтому можно сравнить числители. Так как $11 > 5$, то $\frac{11}{8} > \frac{5}{8}$, значит, $1\frac{3}{8} > \frac{5}{8}$. в) $\frac{14}{5}$ и $1\frac{1}{2}$; Представим обе дроби в виде неправильных дробей: $\frac{14}{5}$ и $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$. Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, равному 10: $\frac{14}{5} = \frac{14 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{28}{10}$ и $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10}$. Теперь сравним $\frac{28}{10}$ и $\frac{15}{10}$. Так как $28 > 15$, то $\frac{28}{10} > \frac{15}{10}$, значит, $\frac{14}{5} > 1\frac{1}{2}$.