Вычислить, решить уравнение и неравенство из варианта 1

1. a) Давай упростим выражение. Сначала разберемся с числителем: $(25)^3 \cdot 2^{-13} = (5^2)^3 \cdot 2^{-13} = 5^6 \cdot 2^{-13}$. Теперь знаменатель: $2^{-3}$. Делим числитель на знаменатель: $\frac{5^6 \cdot 2^{-13}}{2^{-3}} = 5^6 \cdot 2^{-13 - (-3)} = 5^6 \cdot 2^{-10} = \frac{5^6}{2^{10}} = \frac{15625}{1024} \approx 15.26$ б) Здесь просто число 4, ничего вычислять не надо. 2. a) Преобразуем выражение с корнями: $\sqrt[5]{273^5} \cdot \sqrt[5]{233^2} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[5]{3^3} \cdot \sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{11^2} = 9\sqrt[5]{3^3 2^3 11^2} = 9\sqrt[5]{8712}$ б) Используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Тогда $(\sqrt{13} - \sqrt{7})(\sqrt{13} + \sqrt{7}) = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{7})^2 = 13 - 7 = 6$. 3. a) $\sqrt[3]{x + 2} = 4$. Возведём обе части в куб: $(\sqrt[3]{x + 2})^3 = 4^3$, значит, $x + 2 = 64$, и $x = 64 - 2 = 62$. б) $2\sqrt{x} - \sqrt[4]{x} - 3 = 0$. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, тогда $t^2 = \sqrt{x}$. Получаем уравнение: $2t^2 - t - 3 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$. $t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$, $t_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$. Так как $t = \sqrt[4]{x}$, то $t$ не может быть отрицательным, значит, $t = 1.5$. Тогда $\sqrt[4]{x} = 1.5$, возведём в четвёртую степень: $x = (1.5)^4 = 5.0625$. 4. Решим неравенство: 1) $\frac{(3-x)(x-4)}{(x-9)} \ge 0$. Домножим на -1, чтобы изменить знак у $(3-x)$: $\frac{(x-3)(x-4)}{(x-9)} \le 0$. Метод интервалов: ----(3)----(4)----(9)---- Знаки: + - + - Решение: $x \in (-\infty; 3] \cup [4; 9)$. 2) $(x + 3)(6 - x)(x - 4)^2 < 0$. Домножим на -1, чтобы изменить знак у $(6-x)$: $(x + 3)(x - 6)(x - 4)^2 > 0$. Заметим, что $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, и равно нулю при $x = 4$. Рассмотрим остальные множители: $(x + 3)(x - 6) > 0$. Метод интервалов: ----(-3)----(6)---- Знаки: + - + Решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (6; +\infty)$. Но нужно исключить точку $x = 4$, так как в ней $(x - 4)^2 = 0$, а нам нужно строго больше нуля. Итоговый ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (6; +\infty)$.