Реши задачи по теме «Теорема косинусов»: 1. В треугольнике АВС известны стороны: АС=3, ВС=5, АВ=6. Найдите cos(∠ACB).

1. Для решения этой задачи нам понадобится теорема косинусов. Она звучит так: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$, где $c$ - сторона, которую мы хотим найти, $a$ и $b$ - две другие стороны, а $\gamma$ - угол между сторонами $a$ и $b$. В нашем случае, чтобы найти $cos(\angle ACB)$, перепишем теорему косинусов относительно этого угла: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos(\angle ACB)$. Подставим известные значения: $6^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos(\angle ACB)$. Выразим $cos(\angle ACB)$: $$36 = 9 + 25 - 30 \cdot cos(\angle ACB)$$ $$36 = 34 - 30 \cdot cos(\angle ACB)$$ $$2 = -30 \cdot cos(\angle ACB)$$ $$cos(\angle ACB) = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$$ **Ответ:** $cos(\angle ACB) = -\frac{1}{15}$ 2. Используем теорему косинусов, чтобы найти длину стороны $AB$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos(\angle ACB)$. Подставим известные значения: $AB^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot cos(60^\circ)$. Учитывая, что $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получим: $AB^2 = 144 + 100 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$. $AB^2 = 244 - 120$, значит, $AB^2 = 124$, и $AB = \sqrt{124} = 2\sqrt{31}$. **Ответ:** $AB = 2\sqrt{31}$ 3. Чтобы найти длину стороны $AB$, снова воспользуемся теоремой косинусов: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos(\angle C)$. Подставим значения: $AB^2 = 73^2 + 1^2 - 2 \cdot 73 \cdot 1 \cdot cos(150^\circ)$. Учитывая, что $cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получим: $AB^2 = 5329 + 1 - 146 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$. $AB^2 = 5330 + 73\sqrt{3}$. Значит, $AB = \sqrt{5330 + 73\sqrt{3}} \approx 73.64$ см. **Ответ:** $AB \approx 73.64$ см