Реши биквадратное уравнение a) x4 – 5x² - 36 = 0

Конечно, давай решим эти уравнения! Биквадратное уравнение – это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Чтобы его решить, можно сделать замену: $y = x^2$. Тогда уравнение превратится в квадратное, которое мы умеем решать. А потом, зная $y$, найдём и $x$. a) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ Делаем замену $y = x^2$, тогда уравнение становится: $y^2 - 5y - 36 = 0$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$ $y_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9$ $y_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = -4$ Теперь возвращаемся к замене $x^2 = y$: $x^2 = 9$ => $x = \pm 3$ $x^2 = -4$ => нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным. **Ответ: $x = \pm 3$** б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$ Замена: $t = y^2$ $t^2 - 6t + 8 = 0$ $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$ $t_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$ $t_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$ Возвращаемся к замене $y^2 = t$: $y^2 = 4$ => $y = \pm 2$ $y^2 = 2$ => $y = \pm \sqrt{2}$ **Ответ: $y = \pm 2, y = \pm \sqrt{2}$** в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$ Замена: $z = t^2$ $z^2 + 10z + 25 = 0$ $(z + 5)^2 = 0$ $z = -5$ Возвращаемся к замене $t^2 = z$: $t^2 = -5$ => нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным. **Ответ: нет решений** г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$ Замена: $y = x^2$ $4y^2 - 5y + 1 = 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$ $y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{8} = \frac{5 + 3}{8} = 1$ $y_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{8} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{1}{4}$ Возвращаемся к замене $x^2 = y$: $x^2 = 1$ => $x = \pm 1$ $x^2 = \frac{1}{4}$ => $x = \pm \frac{1}{2}$ **Ответ: $x = \pm 1, x = \pm \frac{1}{2}$** д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$ Замена: $y = x^2$ $9y^2 - 9y + 2 = 0$ $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$ $y_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{18} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{2}{3}$ $y_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{18} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{1}{3}$ Возвращаемся к замене $x^2 = y$: $x^2 = \frac{2}{3}$ => $x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ $x^2 = \frac{1}{3}$ => $x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ **Ответ: $x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}, x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$** е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$ Замена: $z = y^2$ $16z^2 - 8z + 1 = 0$ $(4z - 1)^2 = 0$ $z = \frac{1}{4}$ Возвращаемся к замене $y^2 = z$: $y^2 = \frac{1}{4}$ => $y = \pm \frac{1}{2}$ **Ответ: $y = \pm \frac{1}{2}$**