Объясни, как решить определённые интегралы: ∫x⁴dx от -1 до 2, ∫sinxdx от 0 до π, ∫x³dx от 1 до 3, ∫dx/cos²x от 0 до π/4

Конечно, давай решим эти интегралы по порядку! Интеграл – это как обратная операция к производной, то есть мы как бы ищем функцию, от которой взяли производную, чтобы получить то, что у нас под знаком интеграла. 1) $\int_{-1}^{2} x^4 dx$ - Сначала находим первообразную функции $x^4$. Используем правило, что $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — константа интегрирования. В нашем случае $\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C$. - Теперь вычисляем значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования и вычитаем: $\frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{-1}{5} = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$. 2) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx$ - Первообразная для $\sin x$ это $-\cos x$, потому что производная $-\cos x$ равна $\sin x$. Тогда интеграл равен $-\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$. 3) $\int_{1}^{3} x^3 dx$ - Первообразная для $x^3$ это $\frac{x^4}{4}$. Вычисляем интеграл: $\frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$. 4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$ - Первообразная для $\frac{1}{\cos^2 x}$ это $\tan x$, потому что производная $\tan x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$. Тогда интеграл равен $\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие интегралы!