Можешь доказать, что ∆ABC подобен ∆BDC, если на рисунке ∠BDC=∠ABC?

4. a) Давай докажем, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BDC$ подобны. В этих треугольниках угол $C$ общий. А еще дано, что $\angle BDC = \angle ABC$. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Значит, $\triangle ABC \sim \triangle BDC$. б) Теперь найдем $DC$, если $BD = 5$, $AB = 6$, $BC = 9$. Так как треугольники подобны, то их стороны пропорциональны: $\frac{BC}{DC} = \frac{AB}{BD}$. Подставим известные значения: $\frac{9}{DC} = \frac{6}{5}$. Чтобы найти $DC$, можно решить это уравнение: $DC = \frac{9 \cdot 5}{6} = \frac{45}{6} = 7,5$. **Ответ: $DC = 7,5$** 5. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, боковая сторона равна 6, а один из углов при основании равен $60^\circ$. Нужно найти площадь трапеции. Допущение: рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AB = CD = 6$, $\angle A = 60^\circ$, $BD \perp CD$. $\angle BDC = 90^\circ$, значит, $\triangle BDC$ - прямоугольный. Тогда $\angle DBC = 30^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а $\angle BDC + \angle BCD = 90^\circ$). Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, $BC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$. Теперь найдем высоту трапеции $DH$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ ($DH$ - высота) $\angle A = 60^\circ$, значит, $DH = AD \cdot sin(60^\circ)$. Чтобы найти $AD$, рассмотрим $\triangle ABD$. Проведем высоту $CK$. $AK = BC = 3$. $KD = AD - AK = AD - 3$. В $\triangle CDK$: $CK = CD \cdot sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Так как $DH = CK$, то $DH = 3\sqrt{3}$. $AD = \frac{DH}{sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6$. Площадь трапеции равна: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot DH = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$. **Ответ: Площадь трапеции равна $\frac{27\sqrt{3}}{2}$**