Упрости выражение (1/(m-n) - 1/(m+n)) : 2/(3m-3n)

Конечно, сейчас помогу! Нам нужно упростить вот такое выражение: $$\left( \frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n} \right) : \frac{2}{3m-3n}$$ Сначала разберёмся со скобками. Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $(m-n)(m+n)$. Тогда первая дробь умножается на $(m+n)$, а вторая на $(m-n)$. Получается: $$\frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n} = \frac{(m+n) - (m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n-m+n}{(m-n)(m+n)} = \frac{2n}{(m-n)(m+n)}$$ Теперь вспомним, что $(m-n)(m+n)$ это разность квадратов, то есть $m^2 - n^2$. Так что выражение в скобках упростилось до: $$\frac{2n}{m^2 - n^2}$$ Теперь перейдём к делению. Деление – это то же самое, что умножение на перевёрнутую дробь. Значит, нам нужно разделить нашу дробь на $\frac{2}{3m-3n}$, что равносильно умножению на $\frac{3m-3n}{2}$. Запишем это: $$\frac{2n}{m^2 - n^2} : \frac{2}{3m-3n} = \frac{2n}{m^2 - n^2} \cdot \frac{3m-3n}{2}$$ Заметим, что $3m-3n$ можно упростить, вынеся 3 за скобки: $3(m-n)$. И ещё можно сократить 2 в числителе и знаменателе: $$\frac{2n}{m^2 - n^2} \cdot \frac{3(m-n)}{2} = \frac{n}{m^2 - n^2} \cdot 3(m-n)$$ А теперь разложим $m^2 - n^2$ обратно на $(m-n)(m+n)$: $$\frac{n}{(m-n)(m+n)} \cdot 3(m-n)$$ Видишь, у нас есть $(m-n)$ и в числителе, и в знаменателе. Их можно сократить: $$\frac{n}{\cancel{(m-n)}(m+n)} \cdot 3\cancel{(m-n)} = \frac{3n}{m+n}$$ Вот и всё! Мы упростили выражение. **Ответ: $\frac{3n}{m+n}$**