Реши уравнение √2x + 1 + √2x - 4 = √8x - 7

Давай решим уравнение из картинки! $$ \sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 4} = \sqrt{8x - 7} $$ Чтобы избавиться от корней, нужно возвести обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x - 4})^2 = (\sqrt{8x - 7})^2 $$ Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (2x + 1) + 2\sqrt{(2x + 1)(2x - 4)} + (2x - 4) = 8x - 7 $$ Упрощаем: $$ 4x - 3 + 2\sqrt{4x^2 - 6x - 4} = 8x - 7 $$ Переносим всё, кроме корня, в правую часть: $$ 2\sqrt{4x^2 - 6x - 4} = 4x - 4 $$ Делим обе части на 2: $$ \sqrt{4x^2 - 6x - 4} = 2x - 2 $$ Снова возводим в квадрат, чтобы убрать корень: $$ (\sqrt{4x^2 - 6x - 4})^2 = (2x - 2)^2 $$ $$ 4x^2 - 6x - 4 = 4x^2 - 8x + 4 $$ Упрощаем и решаем получившееся линейное уравнение: $$ 2x = 8 $$ $$ x = 4 $$ Теперь нужно проверить, подходит ли $x = 4$ в исходное уравнение. Подставляем $x = 4$: $$ \sqrt{2(4) + 1} + \sqrt{2(4) - 4} = \sqrt{8(4) - 7} $$ $$ \sqrt{9} + \sqrt{4} = \sqrt{25} $$ $$ 3 + 2 = 5 $$ $$ 5 = 5 $$ Всё верно! **Ответ: x = 4**