Найди диаметр окружности, если концы некоторой касательной к ней удалены на 18 см и 12 см

Для решения задачи 795 нам понадобится вспомнить свойство касательной к окружности: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Пусть дан круг с центром в точке $O$. Касательная к окружности касается её в точке $K$. Расстояние от концов касательной (точки $A$ и $B$) до прямой касательной будет $AK = 18$ см и $BK = 12$ см. Пусть радиус окружности $r$, тогда диаметр равен $2r$. Проведём два радиуса $OA$ и $OB$ в точки $A$ и $B$ соответственно. Получим прямоугольные треугольники $OAK$ и $OBK$. Пусть $OK = x$. Тогда можно записать: $OA^2 = AK^2 + OK^2$ $OB^2 = BK^2 + OK^2$ Так как $OA = OB = r$, то $18^2 + x^2 = 12^2 + (2r - x)^2$ $324 + x^2 = 144 + 4r^2 - 4rx + x^2$ $180 = 4r^2 - 4rx$ $45 = r^2 - rx$ Теперь нужно как-то выразить $x$ через $r$. Заметим, что треугольники $OAK$ и $OBK$ подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий угол $AOB$. Тогда можно записать: $\frac{AK}{OK} = \frac{OK}{BK}$ $\frac{18}{x} = \frac{x}{12}$ $x^2 = 18 \cdot 12$ $x^2 = 216$ $x = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ Подставим $x$ в уравнение $45 = r^2 - rx$: $45 = r^2 - 6\sqrt{6}r$ $r^2 - 6\sqrt{6}r - 45 = 0$ Решим квадратное уравнение относительно $r$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (6\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 216 + 180 = 396$ $r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6\sqrt{6} + \sqrt{396}}{2} = \frac{6\sqrt{6} + 6\sqrt{11}}{2} = 3\sqrt{6} + 3\sqrt{11}$ $r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6\sqrt{6} - \sqrt{396}}{2} = \frac{6\sqrt{6} - 6\sqrt{11}}{2} = 3\sqrt{6} - 3\sqrt{11}$ Так как радиус не может быть отрицательным, то берём $r_1$. Тогда диаметр равен $2r = 2(3\sqrt{6} + 3\sqrt{11}) = 6\sqrt{6} + 6\sqrt{11} \approx 34,2$ см. **Ответ:** Диаметр окружности примерно равен 34,2 см.