Можешь ли ты вычислить значение выражения (3^(1/3) * 7^(1/3) + 3^(1/3) * 3^(1/3)) * (49^(1/3) - 21^(1/3) + 9^(1/3)) / ((√15 - √10)² * (2√15 + 2√10)²)?

Привет! Давай вместе разберёмся с этим примером. Выглядит сложно, но сейчас всё станет понятнее. Сначала упростим выражение. Заметим, что $49 = 7^2$ и $9 = 3^2$. Тогда: $$49^{\frac{1}{3}} = (7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}$$ $$9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}$$ $$21^{\frac{1}{3}} = (7 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}$$ Теперь перепишем числитель: $$(3^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}) \cdot (7^{\frac{2}{3}} - 7^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{2}{3}})$$ Вынесем общий множитель $3^{\frac{1}{3}}$ из первой скобки: $$3^{\frac{1}{3}}(7^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}) \cdot (7^{\frac{2}{3}} - 7^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{2}{3}})$$ Теперь смотри, у нас получилось выражение, похожее на формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае $a = 7^{\frac{1}{3}}$, а $b = 3^{\frac{1}{3}}$. Тогда числитель можно упростить до: $$3^{\frac{1}{3}} \cdot ((7^{\frac{1}{3}})^3 + (3^{\frac{1}{3}})^3) = 3^{\frac{1}{3}} \cdot (7 + 3) = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 10$$ Теперь разберёмся со знаменателем: $$(\sqrt{15} - \sqrt{10})^2 \cdot (2\sqrt{15} + 2\sqrt{10})^2 = (\sqrt{15} - \sqrt{10})^2 \cdot 2^2(\sqrt{15} + \sqrt{10})^2 = 4((\sqrt{15} - \sqrt{10})(\sqrt{15} + \sqrt{10}))^2$$ Используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$4(15 - 10)^2 = 4 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$$ Теперь подставим упрощённые выражения в исходное выражение: $$\frac{3^{\frac{1}{3}} \cdot 10}{100} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{10} = \frac{\sqrt[3]{3}}{10}$$ **Ответ: $\frac{\sqrt[3]{3}}{10}$**