Можешь ли ты доказать тождество cos⁴α + 2sin²α – sin⁴α = 1?

Question

Вопрос:

Можешь ли ты доказать тождество cos⁴α + 2sin²α – sin⁴α = 1?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Давай докажем это равенство. Нам нужно показать, что $\cos^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha - \sin^4 \alpha = 1$. Сначала перегруппируем выражение: $$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha = 1$$ Заметим, что $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha$ можно разложить как разность квадратов: $$(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + 2\sin^2 \alpha = 1$$ Так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, выражение упрощается до: $$\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 2\sin^2 \alpha = 1$$ Теперь сгруппируем подобные члены: $$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$ И, как мы знаем, это основное тригонометрическое тождество, которое всегда верно! Значит, равенство доказано.

Можешь ли ты доказать тождество cos⁴α + 2sin²α – sin⁴α = 1?

Ответ ассистента

Другие решения