Найди периметр прямоугольника, вписанного в прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, имеющий с треугольником общий угол.

В прямоугольном треугольнике с катетами по 6 см вписан прямоугольник, у которого с треугольником есть общий угол (рисунок 141). Нужно найти периметр этого прямоугольника. Допущение: Общий угол - прямой угол. Так как прямоугольник вписан в прямоугольный треугольник и имеет с ним общий угол (прямой), то вершины прямоугольника лежат на катетах треугольника. Пусть стороны прямоугольника, прилежащие к общему углу, равны $x$ и $y$. Тогда периметр прямоугольника $P = 2(x + y)$. Рассмотрим подобные треугольники, образованные сторонами прямоугольника и катетами большого треугольника. Так как катеты большого треугольника равны, то он равнобедренный, и углы при основании равны $45^\circ$. Следовательно, $x = y$, потому что прямоугольник вписан в равнобедренный треугольник. Тогда периметр $P = 2(x + x) = 4x$. Чтобы найти $x$, можно заметить, что маленький треугольник, образованный отсечением прямоугольника от большого треугольника, тоже равнобедренный и прямоугольный. Значит, второй катет этого маленького треугольника равен $6 - x$. Получаем, что $x = 6 - x$. Решим это уравнение: $$x + x = 6$$ $$2x = 6$$ $$x = 3$$ Теперь найдем периметр прямоугольника: $$P = 4x = 4 \cdot 3 = 12$$ **Ответ: 12 см**