Ты просишь решить задачи по геометрии: найти стороны и углы параллелограмма, доказать, что четырехугольник является параллелограммом.

9. Давай разберемся! У параллелограмма противоположные стороны равны. Значит, $AD = BC$ и $AB = CD$. Периметр это сумма длин всех сторон. Периметр $ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 \cdot (AD + AB)$. По условию, $AD = 15$ см и $BC = 15$ см. Подставим известные значения в формулу периметра: $2 \cdot (15 + AB) = 10$. Решим уравнение, чтобы найти $AB$: $15 + AB = 5$ $AB = 5 - 15 = -10$. Длина стороны не может быть отрицательной. **Ответ: В условии задачи ошибка, потому что сторона не может быть отрицательной.** 10. Давай посмотрим! Допущение: Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 50 см, а не 10 см, как указано в условии. Периметр параллелограмма это сумма длин всех его сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $AB = CD$ и $BC = AD$. Значит, $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD)$. Периметр треугольника $ABD$ это сумма длин сторон $AB + AD + BD = 8$ см. Выразим сумму $AB + AD$ через периметр параллелограмма: $AB + AD = \frac{P_{ABCD}}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см. Теперь мы можем найти длину диагонали $BD$: $BD = P_{ABD} - (AB + AD) = 8 - 25 = -17$ см. Длина не может быть отрицательной. Скорее всего в условии ошибка. **Ответ: В условии задачи ошибка, потому что сторона не может быть отрицательной.** 11. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма всех углов равна $360°$. Если один из углов равен $40°$, то противоположный ему угол тоже равен $40°$. Сумма двух других углов равна $360° - 40° - 40° = 280°$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $280° : 2 = 140°$. **Ответ: остальные углы равны $140°$.** 12. Допустим, один из углов параллелограмма равен $x$, тогда другой угол равен $x + 50°$. Мы знаем, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180°$. Получаем уравнение: $x + (x + 50°) = 180°$ Решаем уравнение: $2x + 50° = 180°$ $2x = 130°$ $x = 65°$ Значит, один угол равен $65°$, а другой $65° + 50° = 115°$. В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, два угла равны по $65°$ и два угла по $115°$. **Ответ: Углы параллелограмма равны $65°, 65°, 115°, 115°$.** 13. Нет, не может. В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$. Если один угол $40°$, то другой должен быть $180° - 40° = 140°$. Угол $50°$ не подходит. **Ответ: Нет, не может.** 14. Допущение: Диагональ образует с двумя сторонами параллелограмма углы $25°$ и $35°$. Нужно найти углы параллелограмма. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Значит, третий угол в треугольнике, образованном диагональю, равен $180° - 25° - 35° = 120°$. Этот угол равен одному из углов параллелограмма. Противоположный угол параллелограмма тоже равен $120°$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180°$. Значит, два других угла параллелограмма равны $180° - 120° = 60°$. **Ответ: Углы параллелограмма равны $60°, 60°, 120°, 120°$.** 15. Сейчас решим! 1) Если сумма двух углов равна $80°$, то углы при одной стороне не могут быть вместе $80°$, так как они должны быть $180°$ в сумме. Значит, эти два угла напротив друг друга, и каждый из них равен $80°:2=40°$. Тогда два других угла будут равны $180°-40°=140°$. 2) Если сумма двух углов равна $100°$, то также эти углы напротив друг друга и каждый из них равен $100°:2=50°$. Тогда два других угла будут равны $180°-50°=130°$. 3) Если сумма двух углов равна $160°$, то каждый из них равен $160°:2=80°$. Тогда два других угла будут равны $180°-80°=100°$. **Ответ: 1) $40°$, $40°$, $140°$, $140°$; 2) $50°$, $50°$, $130°$, $130°$; 3) $80°$, $80°$, $100°$, $100°$.** 16. Посмотрим! 1) Если разность двух углов равна $70°$. Это значит, что углы при одной стороне не могут давать в сумме $180°$, так как они в сумме должны давать $180°$. Тогда один угол равен $x$, а другой угол равен $x+70°$. Мы знаем, что $x + (x + 70°) = 180°$. Значит, $2x = 110°$, и $x = 55°$. Тогда углы будут $55°$, $55°$, $125°$, $125°$. 2) Если разность двух углов равна $110°$, тогда $x + (x + 110°) = 180°$. Значит, $2x = 70°$, и $x = 35°$. Тогда углы будут $35°$, $35°$, $145°$, $145°$. 3) Если разность двух углов равна $140°$, тогда $x + (x + 140°) = 180°$. Значит, $2x = 40°$, и $x = 20°$. Тогда углы будут $20°$, $20°$, $160°$, $160°$. **Ответ: 1) $55°$, $55°$, $125°$, $125°$; 2) $35°$, $35°$, $145°$, $145°$; 3) $20°$, $20°$, $160°$, $160°$.** 17. Сейчас докажем! Нам нужно доказать, что если в параллелограмме $ABCD$ точка $E$ середина стороны $BC$, а $F$ середина стороны $AD$, то четырёхугольник $BEDF$ - параллелограмм. 1) $AD = BC$, так как это противоположные стороны параллелограмма $ABCD$. 2) $BE = \frac{1}{2} BC$ и $DF = \frac{1}{2} AD$, так как $E$ и $F$ - середины сторон. 3) Значит, $BE = DF$. 4) $BE || DF$, так как лежат на параллельных сторонах $AD$ и $BC$. Получается, что в четырёхугольнике $BEDF$ две стороны ($BE$ и $DF$) параллельны и равны. Этого достаточно, чтобы утверждать, что $BEDF$ - параллелограмм. 8. Докажем! Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то это параллелограмм. Это можно доказать, проведя диагональ и рассмотрев образовавшиеся треугольники. У них будут равные стороны (по условию) и равные углы (как накрест лежащие при параллельных прямых). Значит, треугольники равны, а следовательно, и другие углы равны. Из этого следует, что и другие стороны четырёхугольника параллельны, а значит, это параллелограмм. 9. Давай найдем! В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Это значит, что $\angle BAE = \angle EAD$. Так как $AE$ - биссектриса. Еще нам дано, что $AB = 9$ см, $AD = 15$ см. $\angle BAE = \angle AEB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$. Из этого следует, что $\triangle ABE$ - равнобедренный, так как $\angle BAE = \angle AEB$. Значит, $BE = AB = 9$ см. Так как $AD = BC = 15$ см, то $EC = BC - BE = 15 - 9 = 6$ см. **Ответ: $BE = 9$ см, $EC = 6$ см.**