Проверь, является ли четырехугольник ABCD параллелограммом, если диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причём АС = 2 дм, АО = 10 см, BD = 1,5 дм, ВО = 7 см.

1. Сначала нужно перевести все величины в одни единицы измерения. Переведём всё в сантиметры. $AC = 2 \text{ дм} = 20 \text{ см}$, $BD = 1,5 \text{ дм} = 15 \text{ см}$. Для того, чтобы четырёхугольник $ABCD$ являлся параллелограммом, необходимо, чтобы его диагонали делились точкой пересечения пополам. То есть, чтобы выполнялись равенства $AO = OC$ и $BO = OD$. Проверим: $AO = 10 \text{ см}$, тогда $OC = AC - AO = 20 - 10 = 10 \text{ см}$. Значит, $AO = OC$. $BO = 7 \text{ см}$, тогда $OD = BD - BO = 15 - 7 = 8 \text{ см}$. Значит, $BO \neq OD$. Так как равенство $BO = OD$ не выполняется, то $ABCD$ не является параллелограммом. **Ответ:** $ABCD$ не является параллелограммом. 2. Для доказательства того, что $ABDC$ — параллелограмм, нужно вспомнить признаки параллелограмма. Один из них: если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. В нашем случае: $AM = MD$ по условию. Так как $AM$ — медиана треугольника $ABC$, то $BM = MC$. Значит, диагонали $AD$ и $BC$ четырёхугольника $ABDC$ точкой пересечения $M$ делятся пополам. Следовательно, $ABDC$ — параллелограмм, что и требовалось доказать. **Ответ:** $ABDC$ — параллелограмм.