Помоги мне найти вероятность того, что пирожок с малиной достанется седьмому по счёту мальчику

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти вероятность того, что седьмой мальчик вытащит пирожок с малиной. Всего есть 60 пирожков, и только один из них с малиной. Каждый мальчик берет 3 пирожка. 1. **Всего вариантов выбора для первого мальчика**: Так как первый мальчик берёт 3 пирожка из 60, общее количество способов выбрать эти пирожки равно числу сочетаний из 60 по 3, то есть $C(60, 3)$. 2. **Вероятность того, что у первого мальчика нет пирожка с малиной**: Это означает, что 3 пирожка выбираются из оставшихся 59 (без малины). Число способов это сделать равно $C(59, 3)$. \* Вероятность, что у первого мальчика нет пирожка с малиной: $P_1 = \frac{C(59, 3)}{C(60, 3)} = \frac{\frac{59!}{3!(59-3)!}}{\frac{60!}{3!(60-3)!}} = \frac{59!}{56!} \cdot \frac{57!}{60!} = \frac{59 \cdot 58 \cdot 57}{60 \cdot 59 \cdot 58} = \frac{57}{60}$ 3. **Теперь рассмотрим второго мальчика**. Если у первого мальчика не было пирожка с малиной, то осталось 57 пирожков (60 - 3), из которых 1 с малиной. Второй мальчик берет 3 пирожка из этих 57. Общее количество способов выбрать 3 пирожка из 57 равно $C(57, 3)$. \* Вероятность того, что у второго мальчика нет пирожка с малиной, при условии, что у первого его тоже не было: $P_2 = \frac{C(56, 3)}{C(57, 3)} = \frac{\frac{56!}{3!(56-3)!}}{\frac{57!}{3!(57-3)!}} = \frac{56!}{53!} \cdot \frac{54!}{57!} = \frac{56 \cdot 55 \cdot 54}{57 \cdot 56 \cdot 55} = \frac{54}{57}$ 4. **Продолжаем эту логику до седьмого мальчика**: После шести мальчиков, каждый из которых взял по 3 пирожка, осталось $60 - 6 \cdot 3 = 60 - 18 = 42$ пирожка. Значит, для седьмого мальчика общее количество способов выбрать 3 пирожка из 42 равно $C(42, 3)$. 5. **Вероятность того, что у седьмого мальчика окажется пирожок с малиной**: Чтобы это произошло, нужно, чтобы все предыдущие 6 мальчиков не взяли пирожок с малиной. Вероятность, что у первого мальчика нет пирожка с малиной, мы уже выяснили. По аналогии можно вычислить для остальных. \* После первого мальчика осталось 57 пирожков. \* После второго мальчика осталось 54 пирожка. \* И так далее. После шестого мальчика останется $60 - 6 \cdot 3 = 42$ пирожка, и один из них с малиной. 6. **Общая вероятность**: Вероятность того, что пирожок с малиной достанется седьмому мальчику, равна отношению количества способов выбрать 3 пирожка с малиной у седьмого мальчика к общему числу способов выбрать 3 пирожка из 42. \* Вероятность для седьмого мальчика: $P_7 = \frac{C(41, 2)}{C(42, 3)} = \frac{\frac{41!}{2!39!}}{\frac{42!}{3!39!}} = \frac{41!}{39!} \cdot \frac{42!}{39!} = \frac{41 \cdot 40}{42 \cdot 41 \cdot 40} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$ Или можно проще: вероятность того, что пирожок с малиной достанется седьмому мальчику, равна отношению количества пирожков, которые он берет (3), к общему количеству оставшихся пирожков (42). $$P = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$$ **Ответ: 1/20**