Реши уравнения: a) √625 ⋅ √5^(14x-9) = ⁶√125 ⋅ 5^(6x-12); б) ³√0,2 ⋅ √0,2^(2x - 1/3) = ³√0,04^(-3x+6)

Конечно, давай решим эти уравнения вместе! Я постараюсь объяснить всё так, чтобы тебе было понятно. **12.9 a)** Сначала упростим выражение, используя свойства корней и степеней. Помни, что корень можно представить как степень с дробным показателем. $$\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{125 \cdot 5^{6x-12}}$$ Заметим, что $\sqrt{625} = 25 = 5^2$ и $125 = 5^3$. Тогда можно переписать уравнение: $$5^2 \cdot \sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{5^3 \cdot 5^{6x-12}}$$ Теперь избавимся от корней, представив их как степени: $$5^2 \cdot (5^{14x-9})^{\frac{1}{2}} = (5^3 \cdot 5^{6x-12})^{\frac{1}{6}}$$ $$5^2 \cdot 5^{\frac{14x-9}{2}} = 5^{\frac{3+6x-12}{6}}$$ Теперь, когда у нас одинаковые основания (5), мы можем приравнять показатели степеней: $$2 + \frac{14x-9}{2} = \frac{6x-9}{6}$$ Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей: $$6 \cdot \left(2 + \frac{14x-9}{2}\right) = 6 \cdot \frac{6x-9}{6}$$ $$12 + 3(14x-9) = 6x-9$$ $$12 + 42x - 27 = 6x - 9$$ $$42x - 15 = 6x - 9$$ Теперь перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$42x - 6x = -9 + 15$$ $$36x = 6$$ $$x = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ **Ответ:** $x = \frac{1}{6}$ **6)** Давай решим это уравнение с корнями и степенями. Сначала перепишем уравнение, используя свойства степеней и корней: $$\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}$$ Представим все корни как степени с дробными показателями. Помни, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $0,04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}$. Тогда: $$(5^{-1})^{\frac{1}{3}} \cdot \left((5^{-1})^{2x-\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left((5^{-2})^{-3x+6}\right)^{\frac{1}{3}}$$ Теперь упростим степени: $$5^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}(-2x+\frac{1}{3})} = 5^{\frac{1}{3}(6x-12)}$$ $$5^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{-x+\frac{1}{6}} = 5^{2x-4}$$ Теперь, когда у нас одинаковые основания (5), мы можем сложить показатели степеней слева: $$5^{-\frac{1}{3} - x + \frac{1}{6}} = 5^{2x-4}$$ Приравняем показатели степеней: $$-\frac{1}{3} - x + \frac{1}{6} = 2x - 4$$ Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей: $$6 \cdot \left(-\frac{1}{3} - x + \frac{1}{6}\right) = 6 \cdot (2x - 4)$$ $$-2 - 6x + 1 = 12x - 24$$ $$-1 - 6x = 12x - 24$$ Теперь перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$-6x - 12x = -24 + 1$$ $$-18x = -23$$ $$x = \frac{-23}{-18} = \frac{23}{18}$$ **Ответ:** $x = \frac{23}{18}$