Реши задачу 1: Найди значение выражения 1/30 + 1/42

1. На координатной прямой точка A находится между числами 3 и 4. Ближе всего к числу 3. Так как $\sqrt{7} \approx 2,65$, то **Правильный ответ: 3** 2. Недостаточно данных для решения. Нужно указать чему равно выражение. 3. Для того, чтобы найти корни уравнения $x^2 + 4 = 5x$, нужно перенести все члены в одну сторону, чтобы справа остался ноль: $x^2 - 5x + 4 = 0$. Затем можно решить квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$ **Ответ: 14** 4. Всего спортсменов: $11 + 6 + 3 = 20$. Из России 11 спортсменов. Вероятность, что первым стартует спортсмен из России, равна отношению числа спортсменов из России к общему числу спортсменов: $P = \frac{11}{20} = 0,55$. **Ответ: 0,55** 5. Для параболы A ветви направлены вверх, значит $a > 0$, и парабола не пересекает ось x, значит, дискриминант $D < 0$. Для параболы Б ветви направлены вверх, значит $a > 0$, и парабола пересекает ось x в двух точках, значит, дискриминант $D > 0$. Для параболы В ветви направлены вниз, значит $a < 0$, и парабола пересекает ось x в двух точках, значит, дискриминант $D > 0$. Для параболы Г ветви направлены вниз, значит $a < 0$, и парабола не пересекает ось x, значит, дискриминант $D < 0$. Расположим в порядке, соответствующем буквам: 1234. **Ответ: 1234** 6. По закону Джоуля-Ленца $Q = I^2Rt$. Нам нужно найти время $t$, поэтому выразим его из формулы: $t = \frac{Q}{I^2R}$. Подставим значения: $t = \frac{2187}{9^2 \cdot 3} = \frac{2187}{81 \cdot 3} = \frac{2187}{243} = 9$. **Ответ: 9** 7. **Допущение:** Прямоугольный треугольник равнобедренный. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Так как один из острых углов равен $30^\circ$, то катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. Пусть этот катет равен $x$, тогда другой катет равен $x\sqrt{3}$. Площадь равна $S = \frac{1}{2}x \cdot x\sqrt{3} = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$. По условию площадь равна $722\sqrt{3}$, то есть $\frac{x^2\sqrt{3}}{2} = 722\sqrt{3}$. Домножим обе части на 2 и поделим на $\sqrt{3}$, получим: $x^2 = 1444$. Тогда $x = \sqrt{1444} = 38$. **Ответ: 38** 8. Угол $DEF$ является вписанным углом, который опирается на дугу $DF$. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Дуга $DF$ состоит из дуг $DE$ и $EF$, поэтому градусная мера дуги $DF$ равна $150^\circ + 68^\circ = 218^\circ$. Тогда угол $DEF$ равен половине $218^\circ$, то есть $109^\circ$. **Ответ: 109** 9. **Допущение:** Сторона квадрата равна 6. Площадь квадрата равна $6 \cdot 6 = 36$. Площадь прямоугольника равна $4 \cdot 2 = 8$. Площадь получившейся фигуры равна $36 - 8 = 28$. **Ответ: 28** 10. Пусть первая труба пропускает $x$ литров в минуту, тогда вторая труба пропускает $x + 2$ литров в минуту. Первая труба заполняет резервуар объемом 136 литров за $\frac{136}{x}$ минут, а вторая труба заполняет резервуар объемом 130 литров за $\frac{130}{x+2}$ минут. Из условия известно, что вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее, чем первая труба, то есть $\frac{136}{x} - \frac{130}{x+2} = 4$. Решим уравнение: $\frac{136(x+2) - 130x}{x(x+2)} = 4$; $136x + 272 - 130x = 4x^2 + 8x$; $6x + 272 = 4x^2 + 8x$; $4x^2 + 2x - 272 = 0$; $2x^2 + x - 136 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-136) = 1 + 1088 = 1089 = 33^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + 33}{4} = 8$ и $x_2 = \frac{-1 - 33}{4} = -8,5$. Так как скорость не может быть отрицательной, то $x = 8$. Тогда вторая труба пропускает $8 + 2 = 10$ литров в минуту. **Ответ: 10** 11. Пусть ширина прямоугольника равна $x$, а длина равна $y$. Тогда периметр равен $2(x+y) = 56$, то есть $x+y = 28$. По теореме Пифагора $x^2 + y^2 = 27^2 = 729$. Выразим $y$ через $x$: $y = 28 - x$. Подставим в уравнение: $x^2 + (28-x)^2 = 729$; $x^2 + 784 - 56x + x^2 = 729$; $2x^2 - 56x + 55 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-56)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 55 = 3136 - 440 = 2696$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{56 + \sqrt{2696}}{4}$ и $x_2 = \frac{56 - \sqrt{2696}}{4}$. Площадь прямоугольника равна $S = xy = x(28-x) = 28x - x^2$. Подставим корни и найдем площадь. 12. Чтобы решить неравенство $9x + 7 < 8x - 3$, нужно перенести все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую сторону: $9x - 8x < -3 - 7$; $x < -10$. **Правильный ответ: 4** 13. Пусть первая труба наполняет бассейн за 9 часов, значит, ее производительность равна $\frac{1}{9}$ бассейна в час. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов 18 минут, что равно $6 + \frac{18}{60} = 6 + \frac{3}{10} = 6,3$ часа. Тогда их совместная производительность равна $\frac{1}{6,3} = \frac{10}{63}$ бассейна в час. Пусть вторая труба наполняет бассейн за $x$ часов, тогда ее производительность равна $\frac{1}{x}$ бассейна в час. Совместная производительность равна $\frac{1}{9} + \frac{1}{x} = \frac{10}{63}$. Решим уравнение: $\frac{1}{x} = \frac{10}{63} - \frac{1}{9} = \frac{10 - 7}{63} = \frac{3}{63} = \frac{1}{21}$. Тогда $x = 21$. **Ответ: 21**