Ты просишь решить задания из самостоятельной работы по алгебре: выполнить действия с дробями, доказать, что выражение не зависит от переменной, представить дробь в виде суммы других дробей, выделить целую часть дроби, представить дробь в виде суммы правильных дробей и доказать, что графики функций не имеют общих точек.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. 1. Выполним действия: a) $\frac{3x}{x+1} + \frac{2-x}{x+1} = \frac{3x + 2 - x}{x+1} = \frac{2x + 2}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} = 2$ б) Допущение: второе слагаемое $\frac{a-2}{1-2a}$ должно быть $\frac{a-2}{2a-1}$, чтобы знаменатели были одинаковыми или противоположными. Тогда: $\frac{2a+1}{2a-1} + \frac{a-2}{1-2a} = \frac{2a+1}{2a-1} - \frac{a-2}{2a-1} = \frac{2a + 1 - a + 2}{2a-1} = \frac{a+3}{2a-1}$ в) $\frac{2y-1}{(y-2)^2} - \frac{y+1}{(2-y)^2} = \frac{2y-1}{(y-2)^2} - \frac{y+1}{(y-2)^2} = \frac{2y - 1 - y - 1}{(y-2)^2} = \frac{y-2}{(y-2)^2} = \frac{1}{y-2}$ 2. Докажем, что значение выражения $\frac{(2-x)^2}{x^2+3} - \frac{2-3x}{x^2+3} + \frac{x+1}{x^2+3}$ не зависит от переменной $x$: $\frac{(2-x)^2 - (2-3x) + (x+1)}{x^2+3} = \frac{4 - 4x + x^2 - 2 + 3x + x + 1}{x^2+3} = \frac{x^2 + 3}{x^2+3} = 1$. Получили 1, а это число не зависит от $x$. 3. Выполним действия: a) $\frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{3x^2-3x} = \frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{3x(x-1)} = \frac{3x - (x+2)}{3x(x-1)} = \frac{3x - x - 2}{3x(x-1)} = \frac{2x - 2}{3x(x-1)} = \frac{2(x-1)}{3x(x-1)} = \frac{2}{3x}$ б) $\frac{x+1}{x-x^2} + \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{x(1-x)} + \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x(1-x)} + \frac{1}{x-1} = \frac{-(x+1)}{x(x-1)} + \frac{x}{x(x-1)} = \frac{-x-1+x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} = -\frac{1}{x(x-1)}$ в) Допущение: в знаменателе первой дроби должен быть $x-1$, иначе задание не имеет смысла. $\frac{2x^2}{x-1} - 2x = \frac{2x^2 - 2x(x-1)}{x-1} = \frac{2x^2 - 2x^2 + 2x}{x-1} = \frac{2x}{x-1}$ 4. Представим в виде дроби выражение $\frac{1}{(x-2)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$: $\frac{1}{(x-2)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}) + (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{x^2-4}$ 5. Представим дробь в виде суммы двух дробей, знаменатели которых являются двучленами первой степени: a) $\frac{3x+3}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$. Приведём к общему знаменателю: $3x+3 = A(x+2) + B(x-1)$. Если $x = 1$, то $3(1)+3 = A(1+2) + B(1-1) \Rightarrow 6 = 3A \Rightarrow A = 2$. Если $x = -2$, то $3(-2)+3 = A(-2+2) + B(-2-1) \Rightarrow -3 = -3B \Rightarrow B = 1$. Значит, $\frac{3x+3}{(x-1)(x+2)} = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2}$ б) $\frac{5x+4}{x^2+x-2} = \frac{5x+4}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$. Приведём к общему знаменателю: $5x+4 = A(x+2) + B(x-1)$. Если $x = 1$, то $5(1)+4 = A(1+2) + B(1-1) \Rightarrow 9 = 3A \Rightarrow A = 3$. Если $x = -2$, то $5(-2)+4 = A(-2+2) + B(-2-1) \Rightarrow -6 = -3B \Rightarrow B = 2$. Значит, $\frac{5x+4}{x^2+x-2} = \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+2}$ 6. Выделите целую часть дроби и выясните, при каких натуральных значениях переменной $n$ дробь принимает натуральные значения: a) $\frac{3n^2-3n-2}{n} = \frac{3n^2}{n} - \frac{3n}{n} - \frac{2}{n} = 3n - 3 - \frac{2}{n}$. Для того чтобы выражение было натуральным числом, необходимо чтобы $\frac{2}{n}$ было целым числом. Это возможно только если $n = 1$ или $n = 2$. Если $n=1$, то $3(1) - 3 - \frac{2}{1} = 3 - 3 - 2 = -2$, что не является натуральным числом. Если $n=2$, то $3(2) - 3 - \frac{2}{2} = 6 - 3 - 1 = 2$, что является натуральным числом. б) $\frac{3n^2+3n-2}{n+2}$. Разделим столбиком $3n^2+3n-2$ на $n+2$: $3n^2+3n-2 = (n+2)(3n-3) + 4$. Тогда $\frac{3n^2+3n-2}{n+2} = 3n - 3 + \frac{4}{n+2}$. Для того чтобы выражение было натуральным числом, необходимо чтобы $\frac{4}{n+2}$ было целым числом. Это возможно только если $n+2 = 1, 2, 4$, то есть $n = -1, 0, 2$. $n=-1$ не подходит, так как в условии сказано, что $n$ - натуральное число. $n=0$ не подходит, так как в условии сказано, что $n$ - натуральное число. Если $n = 2$, то $3(2) - 3 + \frac{4}{2+2} = 6 - 3 + 1 = 4$, что является натуральным числом. 7. Допущение: Представить дробь $\frac{11}{15}$ в виде суммы *двух* различных правильных дробей с однозначными знаменателями. Один из возможных вариантов: $\frac{11}{15} = \frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3*5} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} * \frac{1}{5}$. То есть, $\frac{11}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5}$. 8. Докажите, что графики функций $f(x) = \frac{6-x-x^2}{x-2}$ и $h(x) = 1-3x$ не имеют общих точек. Чтобы доказать, что графики функций не имеют общих точек, нужно показать, что уравнение $f(x) = h(x)$ не имеет решений: $\frac{6-x-x^2}{x-2} = 1-3x$. Умножим обе части на $x-2$ (при условии $x \neq 2$): $6-x-x^2 = (1-3x)(x-2) \Rightarrow 6-x-x^2 = x - 2 - 3x^2 + 6x \Rightarrow 6-x-x^2 = -3x^2 + 7x - 2 \Rightarrow 2x^2 - 8x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Однако, $x$ не может быть равен 2, так как в этом случае знаменатель первой дроби обращается в нуль. Значит, графики функций не имеют общих точек.