Реши биквадратное уравнение: x⁴ – 5x² - 36 = 0

Конечно, давай решим эти уравнения! Биквадратные уравнения выглядят страшновато, но на самом деле они решаются довольно просто, если немного с ними познакомиться. a) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ * Делаем замену: $t = x^2$. Тогда уравнение превращается в $t^2 - 5t - 36 = 0$. * Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4*1*(-36) = 25 + 144 = 169$. Корни: $t_1 = (5 + \sqrt{169}) / 2 = (5 + 13) / 2 = 9$, $t_2 = (5 - \sqrt{169}) / 2 = (5 - 13) / 2 = -4$. * Возвращаемся к замене: * $x^2 = 9$, тогда $x = \pm 3$. * $x^2 = -4$ – здесь нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. * **Ответ: $x = \pm 3$** б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$ * Делаем замену: $t = y^2$. Тогда уравнение превращается в $t^2 - 6t + 8 = 0$. * Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4*1*8 = 36 - 32 = 4$. Корни: $t_1 = (6 + \sqrt{4}) / 2 = (6 + 2) / 2 = 4$, $t_2 = (6 - \sqrt{4}) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2$. * Возвращаемся к замене: * $y^2 = 4$, тогда $y = \pm 2$. * $y^2 = 2$, тогда $y = \pm \sqrt{2}$. * **Ответ: $y = \pm 2, \pm \sqrt{2}$** в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$ * Делаем замену: $z = t^2$. Тогда уравнение превращается в $z^2 + 10z + 25 = 0$. * Это полный квадрат: $(z + 5)^2 = 0$. Значит, $z = -5$. * Возвращаемся к замене: $t^2 = -5$. Здесь нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. * **Ответ: нет действительных решений** г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$ * Делаем замену: $t = x^2$. Тогда уравнение превращается в $4t^2 - 5t + 1 = 0$. * Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4*4*1 = 25 - 16 = 9$. Корни: $t_1 = (5 + \sqrt{9}) / 8 = (5 + 3) / 8 = 1$, $t_2 = (5 - \sqrt{9}) / 8 = (5 - 3) / 8 = 1/4$. * Возвращаемся к замене: * $x^2 = 1$, тогда $x = \pm 1$. * $x^2 = 1/4$, тогда $x = \pm 1/2$. * **Ответ: $x = \pm 1, \pm 1/2$** д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$ * Делаем замену: $t = x^2$. Тогда уравнение превращается в $9t^2 - 9t + 2 = 0$. * Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4*9*2 = 81 - 72 = 9$. Корни: $t_1 = (9 + \sqrt{9}) / 18 = (9 + 3) / 18 = 2/3$, $t_2 = (9 - \sqrt{9}) / 18 = (9 - 3) / 18 = 1/3$. * Возвращаемся к замене: * $x^2 = 2/3$, тогда $x = \pm \sqrt{2/3}$. * $x^2 = 1/3$, тогда $x = \pm \sqrt{1/3}$. * **Ответ: $x = \pm \sqrt{2/3}, \pm \sqrt{1/3}$** е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$ * Делаем замену: $t = y^2$. Тогда уравнение превращается в $16t^2 - 8t + 1 = 0$. * Здесь можно заметить, что это полный квадрат: $(4t - 1)^2 = 0$. Значит, $t = 1/4$. * Возвращаемся к замене: $y^2 = 1/4$, тогда $y = \pm 1/2$. * **Ответ: $y = \pm 1/2$**