Объясни, как найти область определения функции, при каком значении переменной значение дроби равно нулю, при каких значениях переменной равно нулю значение дроби, найди значения переменной, при которых равно нулю значение дроби, определи знак дроби, докажи, что при любом значении переменной значение дроби неотрицательное

Давай разберёмся с этими заданиями по порядку! 13. Чтобы найти область определения функции, нужно исключить те значения $x$, при которых знаменатель дроби равен нулю. a) $y = \frac{1}{x-2}$. Знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. Значит, $x \neq 2$. б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$. Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Значит, $x \neq 0$ и $x \neq -1$. в) $y = x + \frac{1}{x+5}$. Знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. Значит, $x \neq -5$. 14. Чтобы найти значение переменной, при котором дробь равна нулю, нужно приравнять числитель к нулю и решить уравнение. $ \frac{x-3}{5} = 0$. Значит, $x-3 = 0$, откуда $x = 3$. 15. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. a) $\frac{y-5}{8}$. Числитель $y-5$ должен быть равен нулю. Значит, $y = 5$. б) $\frac{2y+3}{10}$. Числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. Значит, $2y = -3$, откуда $y = -\frac{3}{2} = -1,5$. в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$. Числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю. Значит, $x = 0$ или $x = 1$. Знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq -4$. Таким образом, $x = 0$ и $x = 1$. г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$. Числитель $x(x+3)$ должен быть равен нулю. Значит, $x = 0$ или $x = -3$. Знаменатель $2x+6$ не должен быть равен нулю, то есть $2x \neq -6$, откуда $x \neq -3$. Таким образом, подходит только $x = 0$. 16. Чтобы найти значения переменной, при которых значение дроби равно нулю, нужно приравнять числитель к нулю. a) $\frac{m+4}{6}$. Числитель $m+4$ должен быть равен нулю. Значит, $m = -4$. б) $\frac{7-5n}{11}$. Числитель $7-5n$ должен быть равен нулю. Значит, $5n = 7$, откуда $n = \frac{7}{5} = 1,4$. в) $\frac{b^2-b}{b+2}$. Числитель $b^2-b$ должен быть равен нулю. Значит, $b(b-1) = 0$, откуда $b = 0$ или $b = 1$. Знаменатель $b+2$ не должен быть равен нулю, то есть $b \neq -2$. Таким образом, $b = 0$ и $b = 1$. г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$. Числитель $y^2-25$ должен быть равен нулю. Значит, $(y-5)(y+5) = 0$, откуда $y = 5$ или $y = -5$. Знаменатель $3y-15$ не должен быть равен нулю, то есть $3y \neq 15$, откуда $y \neq 5$. Таким образом, подходит только $y = -5$. 17. Чтобы определить знак дроби $\frac{a}{b}$, нужно посмотреть на знаки $a$ и $b$. a) Если $a > 0$ и $b > 0$, то дробь $\frac{a}{b} > 0$ (положительная). б) Если $a > 0$ и $b < 0$, то дробь $\frac{a}{b} < 0$ (отрицательная). в) Если $a < 0$ и $b > 0$, то дробь $\frac{a}{b} < 0$ (отрицательная). г) Если $a < 0$ и $b < 0$, то дробь $\frac{a}{b} > 0$ (положительная). 18. Нужно доказать, что при любом значении переменной значение дроби $\frac{a^2}{(a-1)^2}$ неотрицательное. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. То есть, $a^2 \geq 0$ и $(a-1)^2 \geq 0$. Значит, дробь $\frac{a^2}{(a-1)^2}$ всегда будет больше или равна нулю, за исключением случая, когда знаменатель равен нулю. Знаменатель $(a-1)^2$ равен нулю, когда $a = 1$. Поэтому, при $a \neq 1$ дробь всегда положительная, а при $a = 1$ дробь не определена.