Докажи, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, — параллелограмм.

Question

Вопрос:

Докажи, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, — параллелограмм.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы доказать, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. Поскольку $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ — середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ соответственно, то $A_1B_1$ и $C_1D_1$ являются средними линиями в треугольниках $OAB$ и $OCD$. 1. Средняя линия треугольника параллельна его основанию, следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$ и $C_1D_1 \parallel CD$. 2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, значит, $AB \parallel CD$. 3. Из параллельности $A_1B_1 \parallel AB$ и $C_1D_1 \parallel CD$, а также $AB \parallel CD$ следует, что $A_1B_1 \parallel C_1D_1$. Аналогично доказывается, что $B_1C_1 \parallel A_1D_1$. Таким образом, в четырёхугольнике $A_1B_1C_1D_1$ противоположные стороны попарно параллельны, что и требовалось доказать. **Четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм.**

Докажи, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, — параллелограмм.

Ответ ассистента

Другие решения