Объясни, как привести дроби к общему знаменателю в задании под номером 43, пример 1

Давай приведём дроби к общему знаменателю. Это значит, нужно найти такой знаменатель, который делится на оба исходных. Сейчас я покажу, как это делается на примере каждой пары дробей. 1) $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$ \begin{itemize} \item Находим наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 15 и 10. Это 30. \item Выбираем наибольшие степени для переменных: $x^3$ и $y^2$. \item Общий знаменатель: $30x^3y^2$. \item Приводим каждую дробь к общему знаменателю: $$\frac{4}{15x^2y^2} = \frac{4 \cdot 2x}{15x^2y^2 \cdot 2x} = \frac{8x}{30x^3y^2}$$ $$\frac{1}{10x^3y} = \frac{1 \cdot 3y}{10x^3y \cdot 3y} = \frac{3y}{30x^3y^2}$$ \end{itemize} 2) $\frac{c}{6a^4b^5}$ и $\frac{d}{9ab^2}$ \begin{itemize} \item НОК для 6 и 9 это 18. \item Выбираем наибольшие степени для переменных: $a^4$ и $b^5$. \item Общий знаменатель: $18a^4b^5$. \item Приводим дроби: $$\frac{c}{6a^4b^5} = \frac{c \cdot 3}{6a^4b^5 \cdot 3} = \frac{3c}{18a^4b^5}$$ $$\frac{d}{9ab^2} = \frac{d \cdot 2a^3b^3}{9ab^2 \cdot 2a^3b^3} = \frac{2da^3b^3}{18a^4b^5}$$ \end{itemize} 3) $\frac{x}{y-5}$ и $\frac{z}{y^2-25}$ \begin{itemize} \item Замечаем, что $y^2 - 25$ это разность квадратов, то есть $(y-5)(y+5)$. \item Общий знаменатель: $(y-5)(y+5)$. \item Приводим дроби: $$\frac{x}{y-5} = \frac{x \cdot (y+5)}{(y-5) \cdot (y+5)} = \frac{x(y+5)}{(y-5)(y+5)}$$ $$\frac{z}{y^2-25} = \frac{z}{(y-5)(y+5)}$$ \end{itemize} 4) $\frac{m+n}{m^2-mn}$ и $\frac{2m-3n}{m^2-n^2}$ \begin{itemize} \item Разложим знаменатели на множители: $m^2 - mn = m(m-n)$ и $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. \item Общий знаменатель: $m(m-n)(m+n)$. \item Приводим дроби: $$\frac{m+n}{m(m-n)} = \frac{(m+n) \cdot (m+n)}{m(m-n) \cdot (m+n)} = \frac{(m+n)^2}{m(m-n)(m+n)}$$ $$\frac{2m-3n}{(m-n)(m+n)} = \frac{(2m-3n) \cdot m}{(m-n)(m+n) \cdot m} = \frac{m(2m-3n)}{m(m-n)(m+n)}$$ \end{itemize} 5) $\frac{x+1}{x^2-xy}$ и $\frac{y-1}{xy-y^2}$ \begin{itemize} \item Разложим знаменатели на множители: $x^2 - xy = x(x-y)$ и $xy - y^2 = y(x-y)$. \item Общий знаменатель: $xy(x-y)$. \item Приводим дроби: $$\frac{x+1}{x(x-y)} = \frac{(x+1) \cdot y}{x(x-y) \cdot y} = \frac{y(x+1)}{xy(x-y)}$$ $$\frac{y-1}{y(x-y)} = \frac{(y-1) \cdot x}{y(x-y) \cdot x} = \frac{x(y-1)}{xy(x-y)}$$ \end{itemize} 6) $\frac{6a}{a-2b}$ и $\frac{3a}{a+b}$ \begin{itemize} \item Общий знаменатель: $(a-2b)(a+b)$. \item Приводим дроби: $$\frac{6a}{a-2b} = \frac{6a \cdot (a+b)}{(a-2b) \cdot (a+b)} = \frac{6a(a+b)}{(a-2b)(a+b)}$$ $$\frac{3a}{a+b} = \frac{3a \cdot (a-2b)}{(a+b) \cdot (a-2b)} = \frac{3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)}$$ \end{itemize} 7) $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{c}{4-c}$ \begin{itemize} \item Замечаем, что $c^2 - 16 = (c-4)(c+4)$, а $4-c = -(c-4)$. \item Общий знаменатель: $(c-4)(c+4)$. \item Приводим дроби, учитывая знак: $$\frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)} = \frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)}$$ $$\frac{c}{4-c} = \frac{c \cdot (-1)(c+4)}{(4-c) \cdot (-1)(c+4)} = \frac{-c(c+4)}{(c-4)(c+4)}$$ \end{itemize} 8) $\frac{2m+9}{m^2+5m+25}$ и $\frac{m}{m-5}$ \begin{itemize} \item Заметим, что $(m-5)(m^2+5m+25) = m^3 - 125$ (разность кубов). \item Общий знаменатель: $(m-5)(m^2+5m+25)$. \item Приводим дроби: $$\frac{2m+9}{m^2+5m+25} = \frac{(2m+9) \cdot (m-5)}{(m^2+5m+25) \cdot (m-5)} = \frac{(2m+9)(m-5)}{(m-5)(m^2+5m+25)}$$ $$\frac{m}{m-5} = \frac{m \cdot (m^2+5m+25)}{(m-5) \cdot (m^2+5m+25)} = \frac{m(m^2+5m+25)}{(m-5)(m^2+5m+25)}$$ \end{itemize} В каждой паре дроби теперь имеют одинаковый знаменатель. Это как если бы ты делил пирог на одинаковое количество кусочков, чтобы было легче сравнивать размеры кусков!