Реши квадратное уравнение 5x² + 8x - 4 = 0

Конечно, давай решим эти задания по порядку! 1. Решим квадратное уравнение $5x^2 + 8x - 4 = 0$. Для начала, найдем дискриминант (D) по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = 5$, $b = 8$, $c = -4$. $$D = 8^2 - 4 * 5 * (-4) = 64 + 80 = 144$$ Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 * 5} = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$$ $$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 * 5} = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$ **Ответ: $x_1 = 0.4$, $x_2 = -2$** 2. Решим неравенство $9(x - 2) - 3(2x + 1) > 5x$. Сначала раскроем скобки: $$9x - 18 - 6x - 3 > 5x$$ Затем упростим выражение: $$3x - 21 > 5x$$ Перенесем $3x$ в правую часть: $$-21 > 2x$$ Теперь разделим обе части на 2: $$x < -10.5$$ **Ответ: $x < -10.5$** 3. Упростим выражение $(4\sqrt{3} + \sqrt{27})\sqrt{3}$. Сначала упростим $\sqrt{27}$: $$\sqrt{27} = \sqrt{9 * 3} = 3\sqrt{3}$$ Теперь подставим это в выражение: $$(4\sqrt{3} + 3\sqrt{3})\sqrt{3} = (7\sqrt{3})\sqrt{3}$$ Умножим: $$7 * 3 = 21$$ **Ответ: 21** 4. Упростим выражение $(x^{-5})^{-7} \cdot x^{-29}$. Сначала разберемся с первой частью выражения, используя правило $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$: $$(x^{-5})^{-7} = x^{(-5) \cdot (-7)} = x^{35}$$ Теперь умножим на вторую часть выражения, используя правило $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$: $$x^{35} \cdot x^{-29} = x^{35 + (-29)} = x^{6}$$ **Ответ: $x^6$** 5. Решим систему неравенств: $$\begin{cases} 15 - x < 14 \\ 4 - 2x < 5 \end{cases}$$ Решим первое неравенство: $$15 - x < 14$$ $$-x < 14 - 15$$ $$-x < -1$$ $$x > 1$$ Решим второе неравенство: $$4 - 2x < 5$$ $$-2x < 5 - 4$$ $$-2x < 1$$ $$x > -0.5$$ Теперь объединим решения. Так как $x > 1$ и $x > -0.5$, то решением будет $x > 1$. **Ответ: $x > 1$** 6. Решим уравнение $\frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0$. Заметим, что $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0$$ Теперь сложим дроби: $$\frac{x^2 + 5x + 3x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0$$ Упростим числитель: $$\frac{x^2 + 8x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0$$ Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: $$x^2 + 8x + 15 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = 8^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$$ Теперь проверим, не обращают ли корни знаменатель в нуль. $x \neq 5$ и $x \neq -5$, значит $x = -5$ не подходит. **Ответ: $x = -3$** 7. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Пусть скорость второго велосипедиста равна $v$ км/ч, тогда скорость первого велосипедиста равна $v + 3$ км/ч. Время, которое затратил второй велосипедист, равно $\frac{130}{v}$ часов, а время, которое затратил первый велосипедист, равно $\frac{130}{v+3}$ часов. Из условия задачи известно, что первый велосипедист прибыл на 3 часа раньше второго, поэтому: $$\frac{130}{v} - \frac{130}{v+3} = 3$$ Умножим обе части уравнения на $v(v+3)$, чтобы избавиться от дробей: $$130(v+3) - 130v = 3v(v+3)$$ Раскроем скобки: $$130v + 390 - 130v = 3v^2 + 9v$$ $$390 = 3v^2 + 9v$$ Разделим обе части на 3: $$130 = v^2 + 3v$$ Перенесем все в одну сторону: $$v^2 + 3v - 130 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = 3^2 - 4 * 1 * (-130) = 9 + 520 = 529$$ Теперь найдем корни: $$v_1 = \frac{-3 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-3 + 23}{2} = 10$$ $$v_2 = \frac{-3 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-3 - 23}{2} = -13$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10$ км/ч. **Ответ: 10 км/ч**