Реши уравнение sec α (cosec α - sin α), если sec α = -√10 и π < α < 3π/2

Давай решим! 3) Выражение: $sec \alpha (cosec \alpha - sin \alpha)$. Дано: $sec \alpha = -\sqrt{10}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Сначала упростим выражение: $sec \alpha (cosec \alpha - sin \alpha) = sec \alpha \cdot cosec \alpha - sec \alpha \cdot sin \alpha = \frac{1}{cos \alpha} \cdot \frac{1}{sin \alpha} - \frac{1}{cos \alpha} \cdot sin \alpha = \frac{1}{cos \alpha \cdot sin \alpha} - \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{1}{cos \alpha \cdot sin \alpha} - tg \alpha$ Теперь найдем значения $cos \alpha$, $sin \alpha$ и $tg \alpha$. Т.к. $sec \alpha = -\sqrt{10}$, то $cos \alpha = \frac{1}{sec \alpha} = \frac{1}{-\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$. Учитывая, что $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в 3-й четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ $sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$. Т.к. угол в 3-й четверти, выбираем отрицательное значение: $sin \alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Теперь найдем тангенс: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} = 3$ Подставим найденные значения в упрощенное выражение: $\frac{1}{cos \alpha \cdot sin \alpha} - tg \alpha = \frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \cdot \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)} - 3 = \frac{1}{\frac{3 \cdot 10}{100}} - 3 = \frac{1}{\frac{3}{10}} - 3 = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10}{3} - \frac{9}{3} = \frac{1}{3}$ **Ответ: $\frac{1}{3}$** 4) Выражение: $(tg^4 \alpha + tg^2 \alpha) cos^2 \alpha \cdot ctg^3 \alpha$ Упростим выражение: $(tg^4 \alpha + tg^2 \alpha) cos^2 \alpha \cdot ctg^3 \alpha = tg^2 \alpha (tg^2 \alpha + 1) cos^2 \alpha \cdot ctg^3 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} (tg^2 \alpha + 1) cos^2 \alpha \cdot \frac{cos^3 \alpha}{sin^3 \alpha} = (tg^2 \alpha + 1) \cdot cos^2 \alpha \cdot \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = (tg^2 \alpha + 1) \cdot cos \alpha \cdot ctg \alpha$ Используем тригонометрическое тождество: $tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{cos^2 \alpha}$. Тогда выражение станет: $\frac{1}{cos^2 \alpha} \cdot cos \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{ctg \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{cos \alpha}{sin \alpha}}{cos \alpha} = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} \cdot \frac{1}{cos \alpha} = \frac{1}{sin \alpha} = cosec \alpha$ **Ответ: $cosec \alpha$**