Как решить уравнение |x^2-9|+|x^2-4|=5?

Давай решим это уравнение с модулями! Тут нужно рассмотреть несколько случаев, чтобы учесть все возможные знаки выражений под модулями. **1. Определим критические точки** Сначала найдем значения $x$, при которых выражения под модулями меняют знак: $x^2 - 9 = 0$ => $x = \pm 3$ $x^2 - 4 = 0$ => $x = \pm 2$ Эти точки разбивают числовую прямую на пять интервалов: 1. $x < -3$ 2. $-3 \le x < -2$ 3. $-2 \le x \le 2$ 4. $2 < x \le 3$ 5. $x > 3$ **2. Решаем уравнение на каждом интервале** Теперь рассмотрим каждый интервал отдельно и раскроем модули, учитывая знаки выражений: 1. $x < -3$: В этом случае $x^2 - 9 > 0$ и $x^2 - 4 > 0$, поэтому уравнение принимает вид: $(x^2 - 9) + (x^2 - 4) = 5$ $2x^2 - 13 = 5$ $2x^2 = 18$ $x^2 = 9$ $x = \pm 3$ Так как мы рассматриваем $x < -3$, то подходит только $x = -3$, но это значение не входит в интервал $x < -3$. Значит, решений нет. 2. $-3 \le x < -2$: В этом случае $x^2 - 9 \le 0$ и $x^2 - 4 > 0$, поэтому уравнение принимает вид: $-(x^2 - 9) + (x^2 - 4) = 5$ $-x^2 + 9 + x^2 - 4 = 5$ $5 = 5$ Это означает, что любое $x$ из интервала $-3 \le x < -2$ является решением. 3. $-2 \le x \le 2$: В этом случае $x^2 - 9 < 0$ и $x^2 - 4 \le 0$, поэтому уравнение принимает вид: $-(x^2 - 9) - (x^2 - 4) = 5$ $-x^2 + 9 - x^2 + 4 = 5$ $-2x^2 + 13 = 5$ $-2x^2 = -8$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$ Оба значения входят в интервал $-2 \le x \le 2$, поэтому $x = -2$ и $x = 2$ являются решениями. 4. $2 < x \le 3$: В этом случае $x^2 - 9 \le 0$ и $x^2 - 4 > 0$, поэтому уравнение принимает вид: $-(x^2 - 9) + (x^2 - 4) = 5$ $-x^2 + 9 + x^2 - 4 = 5$ $5 = 5$ Это означает, что любое $x$ из интервала $2 < x \le 3$ является решением. 5. $x > 3$: В этом случае $x^2 - 9 > 0$ и $x^2 - 4 > 0$, поэтому уравнение принимает вид: $(x^2 - 9) + (x^2 - 4) = 5$ $2x^2 - 13 = 5$ $2x^2 = 18$ $x^2 = 9$ $x = \pm 3$ Так как мы рассматриваем $x > 3$, ни один из корней не подходит. Значит, решений нет. **3. Объединяем решения** Объединяем решения, полученные на каждом интервале: * Интервал $-3 \le x < -2$ даёт решения $-3 \le x < -2$. * Интервал $-2 \le x \le 2$ даёт решения $x = -2$ и $x = 2$. * Интервал $2 < x \le 3$ даёт решения $2 < x \le 3$. Объединяя эти решения, получаем: $-3 \le x < -2$, $x = -2$, $x = 2$, $2 < x \le 3$ Это можно записать как: $-3 \le x \le -2$ и $2 \le x \le 3$ **Ответ:** $x \in [-3, -2] \cup [2, 3]$ Надеюсь, теперь тебе всё понятно!