Решить уравнения и неравенства

1. Чтобы построить график функции $y = (\frac{1}{5})^x$, нужно помнить, что это показательная функция. Она убывает, так как основание меньше 1. График будет проходить через точку (0, 1). Для $y = 5^x$ график будет возрастающим, тоже пройдёт через точку (0, 1). 2. Сравним числа: 1) $(\frac{1}{5})^{0.2}$ и $(\frac{1}{5})^{1.2}$. Так как основание меньше 1, то больше то число, у которого показатель меньше. Значит, $(\frac{1}{5})^{0.2} > (\frac{1}{5})^{1.2}$. 2) $5^{-0.2}$ и $5^{-1.2}$. Здесь основание больше 1, поэтому больше то число, у которого показатель больше. Так как $-0.2 > -1.2$, то $5^{-0.2} > 5^{-1.2}$. 3. Решим уравнения: 1) $3x + 1 = 27^{x-1}$. Заметим, что $27 = 3^3$, поэтому можно переписать уравнение как $3x + 1 = (3^3)^{x-1}$ или $3x + 1 = 3^{3x-3}$. Теперь, чтобы решить уравнение, нужно приравнять показатели: $x + 1 = 3x - 3$. Решаем: $2x = 4$, значит, $x = 2$. 2) $0.2x^2 + 4x - 5 = 1$. Перенесём всё в одну сторону: $0.2x^2 + 4x - 6 = 0$. Умножим на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби: $x^2 + 20x - 30 = 0$. Теперь можно решить квадратное уравнение через дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 400 + 120 = 520$. Тогда $x = \frac{-20 \pm \sqrt{520}}{2}$. Упростим: $x = -10 \pm \sqrt{130}$. 3) $2x + 3 - 2x + 1 = 12$. Упрощаем: $4 = 12$. Здесь нет решения, так как равенство неверно. 4) $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0$. Сделаем замену: $y = 2^x$. Тогда уравнение примет вид: $4y^2 - 5y + 1 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$. Значит, $y = \frac{5 \pm 3}{8}$. Получаем два значения: $y_1 = 1$ и $y_2 = \frac{1}{4}$. Теперь возвращаемся к замене: - $2^x = 1$, значит, $x = 0$. - $2^x = \frac{1}{4}$, значит, $x = -2$. 4. Решим неравенства: 1) $7^{x-2} > 49$. Так как $49 = 7^2$, то можно переписать неравенство как $7^{x-2} > 7^2$. Значит, $x - 2 > 2$, откуда $x > 4$. 2) $0.5x^2 - 2 \geq \frac{1}{4}$. Домножим на 4: $2x^2 - 8 \geq 1$. Перенесём всё в одну сторону: $2x^2 - 9 \geq 0$. Тогда $x^2 \geq \frac{9}{2}$. Значит, $x \geq \sqrt{\frac{9}{2}}$ или $x \leq -\sqrt{\frac{9}{2}}$. Упростим: $x \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$ или $x \leq -\frac{3}{\sqrt{2}}$. Можно ещё упростить, избавившись от иррациональности в знаменателе: $x \geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$ или $x \leq -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.