Можешь упростить тригонометрическое выражение, если известно значение синуса?

Привет! Давай вместе решим этот пример. Нам нужно упростить выражение $$\left(\frac{\sin^2 \beta}{1-\sin^2 \beta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \beta - 1}\right) \cos^3 \beta$$, зная, что $\sin \beta = \frac{15}{17}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. 1. Упростим выражение в скобках, используя основные тригонометрические тождества: * $1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$ (основное тригонометрическое тождество) * $\operatorname{cosec}^2 \beta - 1 = \operatorname{ctg}^2 \beta$ (одно из тригонометрических тождеств) Тогда выражение в скобках можно переписать как: $$\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} + \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \beta} = \operatorname{tg}^2 \beta + \operatorname{tg}^2 \beta = 2\operatorname{tg}^2 \beta$$ 2. Теперь наше выражение выглядит так: $$2\operatorname{tg}^2 \beta \cdot \cos^3 \beta$$ 3. Выразим тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$. Тогда: $$2 \cdot \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} \cdot \cos^3 \beta = 2 \sin^2 \beta \cdot \cos \beta$$ 4. Теперь нам нужно найти $\cos \beta$. Мы знаем, что $\sin \beta = \frac{15}{17}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Это значит, что $\beta$ находится во второй четверти, где косинус отрицательный. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$: $$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$$ Так как $\cos \beta$ отрицательный во второй четверти: $$\cos \beta = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17}$$ 5. Подставим значения $\sin \beta$ и $\cos \beta$ в наше выражение: $$2 \sin^2 \beta \cdot \cos \beta = 2 \cdot \left(\frac{15}{17}\right)^2 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = 2 \cdot \frac{225}{289} \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{2 \cdot 225 \cdot 8}{289 \cdot 17} = -\frac{3600}{4913}$$ **Ответ: $-\frac{3600}{4913}$**