Мне нужно доказать, что сумма дробей 1/(1 * 5) + 1/(5 * 9) + 1/(9 * 13) + ... + 1/((4n-3) * (4n+1)) меньше, чем 1/4

Давай посмотрим на задание под буквой "в". Тебе нужно доказать, что сумма дробей $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + ... + \frac{1}{(4n-3) \cdot (4n+1)}$ меньше, чем $\frac{1}{4}$. Чтобы это доказать, можно заметить, что каждую дробь можно представить как разность двух дробей: $\frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1})$ Тогда вся сумма превратится в: $\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{1} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{13} + ... + \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1})$ Видишь, почти все дроби сокращаются! Остаётся только: $\frac{1}{4} \cdot (1 - \frac{1}{4n+1})$ Так как $\frac{1}{4n+1}$ всегда больше нуля, то вся сумма всегда меньше, чем $\frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$. Ура, мы это доказали!