Найди решение уравнения |x² + 3x| = 2(x + 1)

Решим уравнение $\vert x^2 + 3x \vert = 2(x + 1)$. Сначала рассмотрим случай, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $x^2 + 3x \ge 0$. В этом случае модуль можно раскрыть без изменения знака: $x^2 + 3x = 2(x + 1)$. Раскроем скобки и перенесем все в левую часть: $x^2 + 3x = 2x + 2$, $x^2 + x - 2 = 0$. Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. Здесь удобно воспользоваться теоремой Виета. Нужно найти два числа, которые в сумме дают $-1$, а в произведении $-2$. Это числа $-2$ и $1$. Значит, корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x^2 + 3x \ge 0$: Для $x_1 = -2$: $(-2)^2 + 3(-2) = 4 - 6 = -2$. Это меньше нуля, значит, $x_1 = -2$ не является решением. Для $x_2 = 1$: $(1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$. Это больше нуля, значит, $x_2 = 1$ является решением. Теперь рассмотрим случай, когда выражение под модулем отрицательно, то есть $x^2 + 3x < 0$. В этом случае модуль раскрывается с изменением знака: $-(x^2 + 3x) = 2(x + 1)$. Раскроем скобки и перенесем все в левую часть: $-x^2 - 3x = 2x + 2$, $x^2 + 5x + 2 = 0$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$. Корни уравнения: $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}$, $x_4 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$. Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x^2 + 3x < 0$: Для $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2} \approx -4.56$: $(-4.56)^2 + 3(-4.56) \approx 20.79 - 13.68 \approx 7.11$. Это больше нуля, значит, $x_3$ не является решением. Для $x_4 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2} \approx -0.44$: $(-0.44)^2 + 3(-0.44) \approx 0.19 - 1.32 \approx -1.13$. Это меньше нуля, значит, $x_4 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$ является решением. **Ответ: $x = 1$ и $x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$**