Реши все задания и распиши подробно решения

Привет! Сейчас я помогу тебе решить все эти задания. Разберём каждый вариант по порядку. **Вариант 1** 1. Упростим выражение: а) $3a^2b \cdot (-5a^3b)$; б) $(2x^2y)^3$ * а) $3a^2b \cdot (-5a^3b) = 3 \cdot (-5) \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot b \cdot b = -15a^5b^2$ * б) $(2x^2y)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 8x^6y^3$ 2. Преобразуем в многочлен выражение $(a+6)^2 - 2a(3-2a)$. * $(a+6)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = a^2 + 12a + 36$ * $-2a(3-2a) = -2a \cdot 3 + (-2a) \cdot (-2a) = -6a + 4a^2$ * $(a^2 + 12a + 36) + (-6a + 4a^2) = a^2 + 4a^2 + 12a - 6a + 36 = 5a^2 + 6a + 36$ 3. Решим уравнение $3x - 5(2x+1) = 3(3-2x)$. * $3x - 5(2x+1) = 3x - 10x - 5 = -7x - 5$ * $3(3-2x) = 9 - 6x$ * $-7x - 5 = 9 - 6x$ * $-7x + 6x = 9 + 5$ * $-x = 14$ * $x = -14$ 4. Разложим на множители: а) $x^2 - 5x$; б) $y^2 - 25$; в) $a^2 + 12a + 36$; г) $ax - ay + 5x - 5y$ * а) $x^2 - 5x = x(x - 5)$ * б) $y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$ (разность квадратов) * в) $a^2 + 12a + 36 = (a + 6)^2$ (полный квадрат) * г) $ax - ay + 5x - 5y = a(x - y) + 5(x - y) = (a + 5)(x - y)$ 5. Построим график функции, заданной формулой $y = -\frac{1}{2}x + 1$. С помощью графика найдите координаты точек пересечения графика с осями координат. Чтобы построить график, нужно найти две точки. Возьмём $x = 0$ и $x = 2$. * Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$. * Если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(2, 0)$. Точки пересечения с осями: * С осью $y$: $(0, 1)$ * С осью $x$: $(2, 0)$ 6. Вычислим $\frac{49^4 \cdot 7^5}{7^{12}}$. * $49 = 7^2$, поэтому $49^4 = (7^2)^4 = 7^8$ * $\frac{49^4 \cdot 7^5}{7^{12}} = \frac{7^8 \cdot 7^5}{7^{12}} = \frac{7^{13}}{7^{12}} = 7^{13-12} = 7^1 = 7$ 7. Лодка проплыла 3 ч против течения реки и 2 ч по течению реки, проплыв за это время 32 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки. Допущение: Пусть $v$ - собственная скорость лодки. Тогда: * Скорость против течения: $v - 3$ * Скорость по течению: $v + 3$ Уравнение: $3(v - 3) + 2(v + 3) = 32$ Решаем: $3v - 9 + 2v + 6 = 32$ $5v - 3 = 32$ $5v = 35$ $v = 7$ км/ч **Вариант 2** 1. Упростим выражение: а) $-2xy^2 \cdot 3x^2y^3$; б) $(-4ab^3)^2$ * а) $-2xy^2 \cdot 3x^2y^3 = -2 \cdot 3 \cdot x \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot y^3 = -6x^3y^5$ * б) $(-4ab^3)^2 = (-4)^2 \cdot a^2 \cdot (b^3)^2 = 16a^2b^6$ 2. Преобразуем в многочлен выражение $(x-2)^2 - (x-1)(x+2)$. * $(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$ * $(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$ * $(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2 = -5x + 6$ 3. Решим уравнение $4(1-5x) = 9 - 3(6x-5)$. * $4(1-5x) = 4 - 20x$ * $9 - 3(6x-5) = 9 - 18x + 15 = 24 - 18x$ * $4 - 20x = 24 - 18x$ * $-20x + 18x = 24 - 4$ * $-2x = 20$ * $x = -10$ 4. Разложим на множители: а) $a^2 - 6a$; б) $x^2 - 49$; в) $y^2 + 6y + 9$; г) $2a - 2b + ca - cb$ * а) $a^2 - 6a = a(a - 6)$ * б) $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ (разность квадратов) * в) $y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2$ (полный квадрат) * г) $2a - 2b + ca - cb = 2(a - b) + c(a - b) = (2 + c)(a - b)$ 5. Построим график функции, заданной формулой $y = 0.5x - 2$. С помощью графика найдите координаты точек пересечения графика с осями координат. Чтобы построить график, нужно найти две точки. Возьмём $x = 0$ и $x = 4$. * Если $x = 0$, то $y = 0.5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$. * Если $x = 4$, то $y = 0.5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(4, 0)$. Точки пересечения с осями: * С осью $y$: $(0, -2)$ * С осью $x$: $(4, 0)$ 6. Вычислим $\frac{125^2 \cdot 5^6}{25^4}$. * $125 = 5^3$, поэтому $125^2 = (5^3)^2 = 5^6$ * $25 = 5^2$, поэтому $25^4 = (5^2)^4 = 5^8$ * $\frac{125^2 \cdot 5^6}{25^4} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^8} = \frac{5^{12}}{5^8} = 5^{12-8} = 5^4 = 625$ 7. Лодка проплыла 4 ч по озеру и 5 ч по реке против течения, проплыв за это время 30 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки. Допущение: В озере нет течения, поэтому 4 часа лодка плыла со своей собственной скоростью. Пусть $v$ - собственная скорость лодки. Тогда: * Расстояние в озере: $4v$ * Скорость против течения: $v - 3$ * Расстояние против течения: $5(v - 3)$ Уравнение: $4v + 5(v - 3) = 30$ Решаем: $4v + 5v - 15 = 30$ $9v - 15 = 30$ $9v = 45$ $v = 5$ км/ч