Реши биквадратные уравнения: 9x⁴ + 77x² - 36 = 0; 2x⁴ - 9x² - 5 = 0; 6x⁴ - 5x² - 1 = 0.

Конечно, давай решим эти уравнения! Они называются биквадратными, потому что в них есть $x$ в четвёртой степени. Чтобы их решить, мы сделаем замену: $t = x^2$. Тогда уравнение станет квадратным, и мы сможем найти $t$, а потом и $x$. б) $9x^4 + 77x^2 - 36 = 0$ Замена: $t = x^2$, тогда уравнение примет вид: $9t^2 + 77t - 36 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = 77^2 - 4 \cdot 9 \\\cdot (-36) = 5929 + 1296 = 7225$ $t_1 = \frac{-77 + \sqrt{7225}}{2 \cdot 9} = \frac{-77 + 85}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ $t_2 = \frac{-77 - \sqrt{7225}}{2 \cdot 9} = \frac{-77 - 85}{18} = \frac{-162}{18} = -9$ Теперь возвращаемся к замене: $x^2 = \frac{4}{9}$ или $x^2 = -9$ Из первого уравнения получаем: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$ Второе уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным. **Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$** в) $2x^4 - 9x^2 - 5 = 0$ Замена: $t = x^2$, тогда уравнение примет вид: $2t^2 - 9t - 5 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$ $t_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$ $t_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ Теперь возвращаемся к замене: $x^2 = 5$ или $x^2 = -\frac{1}{2}$ Из первого уравнения получаем: $x_1 = \sqrt{5}, x_2 = -\sqrt{5}$ Второе уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным. **Ответ: $x_1 = \sqrt{5}, x_2 = -\sqrt{5}$** г) $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$ Замена: $t = x^2$, тогда уравнение примет вид: $6t^2 - 5t - 1 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$ $t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$ $t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$ Теперь возвращаемся к замене: $x^2 = 1$ или $x^2 = -\frac{1}{6}$ Из первого уравнения получаем: $x_1 = 1, x_2 = -1$ Второе уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным. **Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$**