Помоги мне решить задачи: упростить выражение, решить систему уравнений, решить неравенство, упростить выражение, решить систему неравенств, построить график функции и решить задачу про велосипедистов.

Давай решим задачи по порядку! 1. Упростить выражение $\frac{a}{a+c} \cdot (\frac{a+c}{c} + \frac{a+c}{a})$ $\frac{a}{a+c} \cdot (\frac{a+c}{c} + \frac{a+c}{a}) = \frac{a}{a+c} \cdot (\frac{a(a+c) + c(a+c)}{ac}) = \frac{a}{a+c} \cdot (\frac{a^2 + ac + ac + c^2}{ac}) = \frac{a}{a+c} \cdot (\frac{a^2 + 2ac + c^2}{ac}) = \frac{a}{a+c} \cdot \frac{(a+c)^2}{ac} = \frac{a(a+c)^2}{ac(a+c)} = \frac{a+c}{c}$ **Ответ: $\frac{a+c}{c}$** 2. Решить систему уравнений $$\begin{cases} y^2 + 2x = 2, \ x + y = 1. \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 1 - y$. Подставим это в первое уравнение: $y^2 + 2(1 - y) = 2$ $y^2 + 2 - 2y = 2$ $y^2 - 2y = 0$ $y(y - 2) = 0$ Значит, $y = 0$ или $y = 2$. Если $y = 0$, то $x = 1 - 0 = 1$. Если $y = 2$, то $x = 1 - 2 = -1$. **Ответ: (1; 0), (-1; 2)** 3. Решить неравенство $6x - 8 \geq 10x - (4 - x)$. $6x - 8 \geq 10x - 4 + x$ $6x - 8 \geq 11x - 4$ $-5x \geq 4$ $x \leq -\frac{4}{5}$ **Ответ: $x \leq -0.8$** 4. Упростить выражение $\frac{(x^{-4})^2 \cdot x^9}{x^{-1}}$. $\frac{(x^{-4})^2 \cdot x^9}{x^{-1}} = \frac{x^{-8} \cdot x^9}{x^{-1}} = \frac{x^{1}}{x^{-1}} = x^{1 - (-1)} = x^2$ **Ответ: $x^2$** 5. Решить систему неравенств $$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 \leq 0, \ 3x - 8 \geq 0. \end{cases}$$ Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 8 \leq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$ $x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$ $x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$ Так как коэффициент при $x^2$ положительный, парабола направлена вверх, и неравенство $x^2 - 6x + 8 \leq 0$ выполняется между корнями, то есть $2 \leq x \leq 4$. Теперь решим второе неравенство: $3x - 8 \geq 0$. $3x \geq 8$ $x \geq \frac{8}{3}$ $x \geq 2\frac{2}{3}$ Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $2 \leq x \leq 4$ и $x \geq 2\frac{2}{3}$. Получаем $2\frac{2}{3} \leq x \leq 4$. **Ответ: $[2\frac{2}{3}; 4]$** 6. Построить график функции $y = -x^2 + 1$. Укажите, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения. График функции $y = -x^2 + 1$ - парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (0; 1). Функция принимает отрицательные значения, когда $-x^2 + 1 < 0$. $-x^2 + 1 < 0$ $x^2 > 1$ $x < -1$ или $x > 1$ **Ответ: $x < -1$ или $x > 1$** 7. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в пункт B на 15 мин раньше первого. Чему равна скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость первого на 3 км/ч меньше скорости второго? Пусть $v_1$ - скорость первого велосипедиста, $v_2$ - скорость второго велосипедиста. Тогда $v_2 = v_1 + 3$. Время, за которое первый велосипедист проехал 45 км: $t_1 = \frac{45}{v_1}$. Время, за которое второй велосипедист проехал 45 км: $t_2 = \frac{45}{v_2} = \frac{45}{v_1 + 3}$. Второй велосипедист выехал на 30 мин позже и прибыл на 15 мин раньше, значит, он был в пути на 45 мин меньше первого. Переведем минуты в часы: 45 мин = $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа. $t_1 - t_2 = \frac{3}{4}$ $\frac{45}{v_1} - \frac{45}{v_1 + 3} = \frac{3}{4}$ Умножим обе части на $4v_1(v_1 + 3)$: $45 \cdot 4(v_1 + 3) - 45 \cdot 4v_1 = 3v_1(v_1 + 3)$ $180(v_1 + 3) - 180v_1 = 3v_1^2 + 9v_1$ $180v_1 + 540 - 180v_1 = 3v_1^2 + 9v_1$ $3v_1^2 + 9v_1 - 540 = 0$ Разделим на 3: $v_1^2 + 3v_1 - 180 = 0$ $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$ $v_1 = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $v_2 = v_1 + 3 = 12 + 3 = 15$ **Ответ: скорость первого велосипедиста 12 км/ч, скорость второго велосипедиста 15 км/ч**