Ты просишь меня решить уравнение через дискриминант

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Смотри, тут у нас дроби с разными знаменателями, и чтобы их сложить или вычесть, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $(x-4)(x+1)$. Исходное уравнение: $$\frac{2x-7}{x-4} - \frac{x+2}{x+1} = \frac{x+6}{(x-4)(x+1)}$$ Приводим дроби к общему знаменателю: $$\frac{(2x-7)(x+1)}{(x-4)(x+1)} - \frac{(x+2)(x-4)}{(x-4)(x+1)} = \frac{x+6}{(x-4)(x+1)}$$ Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем от него избавиться, просто умножив обе части уравнения на $(x-4)(x+1)$. Но сначала нужно убедиться, что $x$ не равен $4$ и $-1$, иначе знаменатель обратится в ноль, и делить на ноль нельзя! Итак, $x \neq 4$ и $x \neq -1$. Раскрываем скобки в числителях: $$(2x-7)(x+1) - (x+2)(x-4) = x+6$$ $$2x^2 + 2x - 7x - 7 - (x^2 - 4x + 2x - 8) = x+6$$ $$2x^2 - 5x - 7 - (x^2 - 2x - 8) = x+6$$ Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: $$2x^2 - 5x - 7 - x^2 + 2x + 8 = x+6$$ $$x^2 - 3x + 1 = x+6$$ Переносим все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - 3x - x + 1 - 6 = 0$$ $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ Теперь у нас есть квадратное уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$. Решим его через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$. $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Формула для корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ Подставляем значения: $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Проверяем, не равны ли наши корни 4 или -1 (так как на эти значения делить нельзя). Видим, что $x_2 = -1$, а это значит, что этот корень не подходит! Остается только $x_1 = 5$. **Ответ: $x = 5$**