Помоги решить задачи по геометрии: №476 а), б), в), г), д), №477, №478, №479

476. Давай найдем углы параллелограмма ABCD, если известны некоторые соотношения между ними. a) Если $\angle A = 84^\circ$, то $\angle C = 84^\circ$, так как в параллелограмме противоположные углы равны. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle B = \angle D = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$. б) Если $\angle A - \angle B = 55^\circ$, и мы знаем, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$, то можно решить систему уравнений: $\begin{cases} \angle A - \angle B = 55^\circ \\ \angle A + \angle B = 180^\circ \end{cases}$ Сложим уравнения: $2 \angle A = 235^\circ$, следовательно, $\angle A = 117.5^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 117.5^\circ = 62.5^\circ$. И значит, $\angle C = 117.5^\circ$, $\angle D = 62.5^\circ$. в) Если $\angle A + \angle C = 142^\circ$, то так как $\angle A = \angle C$, то $2 \angle A = 142^\circ$, следовательно, $\angle A = 71^\circ = \angle C$. Тогда $\angle B = \angle D = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$. г) Если $\angle A = 2 \angle B$, и мы знаем, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$, то $2 \angle B + \angle B = 180^\circ$, то есть $3 \angle B = 180^\circ$, следовательно, $\angle B = 60^\circ$. Тогда $\angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. И значит, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 60^\circ$. д) Если $\angle CAD = 16^\circ$ и $\angle ACD = 37^\circ$, то $\angle A = \angle CAD + \angle BAC$ и $\angle C = \angle ACD + \angle ACB$. Так как $\angle CAD = 16^\circ$ и $\angle ACD = 37^\circ$, то $\angle CAB = \angle ACD = 37^\circ$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Тогда $\angle A = 16^\circ + 37^\circ = 53^\circ$. Значит, $\angle C = 53^\circ$. $\angle B = \angle D = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$. 477. Давай найдем стороны и углы параллелограмма MNPQ. В прямоугольном треугольнике MNH, где $\angle MNH = 30^\circ$ и $MH = 3$ см, $HQ = 5$ см. $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см. $\sin(\angle NMH) = \frac{NH}{MN}$, значит, $\sin(30^\circ) = \frac{3}{MN}$, то есть $\frac{1}{2} = \frac{3}{MN}$. Следовательно, $MN = 6$ см. Теперь найдем углы. $\angle N = 30^\circ$, значит, $\angle M = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. $\angle P = \angle M = 60^\circ$ и $\angle Q = \angle N = 30^\circ$. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $NP = MQ = 8$ см и $PQ = MN = 6$ см. 478. Чтобы доказать, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником, нужно показать, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Возьмем прямую AB. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой AB, так как AB || CD. Значит, отрезок CD лежит по одну сторону от прямой AB. Но тогда и отрезки BC и AD лежат по ту же сторону от прямой AB. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой AB. Аналогично можно доказать для любой другой стороны параллелограмма. Следовательно, параллелограмм ABCD является выпуклым четырехугольником. 479. Докажем, что четырехугольник BMDK - параллелограмм. Допущение: Прямая AC содержит отрезок AK. Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Так как BK и DM перпендикулярны AC, то BK || DM. Рассмотрим треугольники ABK и CDM. $\angle BKA = \angle DMC = 90^\circ$ (по условию BK и DM - перпендикуляры). $\angle BAK = \angle DCM$ (как углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). AB = CD (как противоположные стороны параллелограмма). Следовательно, треугольники ABK и CDM равны по гипотенузе и острому углу, то есть $\triangle ABK = \triangle CDM$. Из равенства треугольников следует, что BK = DM. Так как BK || DM и BK = DM, то четырехугольник BMDK - параллелограмм. Ура, доказали!