Помоги мне упростить тригонометрическое выражение a) tg(π/8) / (1 - tg²(π/8))

Конечно, решим! Обе задачки похожи, и в них используется одна и та же формула из тригонометрии. Помнишь формулу для тангенса двойного угла? Она выглядит так: $$\tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$ **a)** В первом примере у тебя выражение: $$\frac{\tan(\frac{\pi}{8})}{1 - \tan^2(\frac{\pi}{8})}$$ Это почти как правая часть формулы, только не хватает двойки в числителе. Но её можно легко добавить и убрать, чтобы ничего не изменилось: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \tan(\frac{\pi}{8})}{1 - \tan^2(\frac{\pi}{8})}$$ Теперь видно, что это $$\frac{1}{2} \tan(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2} \tan(\frac{\pi}{4})$$. А $$\tan(\frac{\pi}{4})$$ это то же самое, что тангенс 45 градусов, и он равен 1. Значит, ответ: $$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$ **б)** Во втором примере у тебя выражение: $$\frac{\tan(75^\circ)}{1 - \tan^2(75^\circ)}$$ Опять же, похоже на формулу тангенса двойного угла, но не хватает двойки. Делаем то же самое: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \tan(75^\circ)}{1 - \tan^2(75^\circ)}$$ Теперь это $$\frac{1}{2} \tan(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \tan(150^\circ)$$. Tангенс 150 градусов — это то же самое, что тангенс (180 - 30) градусов, и он равен $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$. Значит, ответ: $$-\frac{\sqrt{3}}{6}$$