Можешь доказать, что функция y = x² + x + 1 неограниченная (ограниченная снизу)?

Конечно, давай разберемся с этими функциями! a) $y = x^2 + x + 1$ Чтобы понять, ограничена ли эта функция снизу, нужно посмотреть на её график. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола всегда имеет самую нижнюю точку (вершину). Значит, функция ограничена снизу. Чтобы найти точное значение, можно выделить полный квадрат: $$y = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$$ Видим, что наименьшее значение $y$ равно $\frac{3}{4}$. б) $y = 1 - ||x - 1| - x|$ Здесь немного сложнее из-за модуля. Но давай посмотрим, что происходит, когда $x$ становится очень большим. Если $x$ большой, то $|x - 1|$ примерно равно $x$, и тогда $||x - 1| - x|$ будет маленьким. Значит, $y$ будет близко к $1$. С другой стороны, если $x$ очень большой и отрицательный, то $|x - 1|$ будет примерно равно $-x$, и тогда $||x - 1| - x|$ будет примерно равно $|-x - x| = |-2x| = 2|x|$. Тогда $y = 1 - 2|x|$ будет становиться все меньше и меньше (уходить в минус бесконечность). Значит, функция не ограничена снизу, но ограничена сверху. в) $y = \frac{x^2 + 3}{x^2 + 5}$ Чтобы понять, ограничена ли эта функция, давай посмотрим, что происходит, когда $x$ становится очень большим. Тогда и $x^2$ тоже становится очень большим. В этом случае, $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 5}$ будет близко к $\frac{x^2}{x^2} = 1$. Теперь давай посмотрим, какое самое маленькое значение может принимать эта функция. Заметим, что $x^2$ всегда больше или равно $0$. Значит, самое маленькое значение будет, когда $x = 0$. Тогда $y = \frac{0 + 3}{0 + 5} = \frac{3}{5}$. Так как функция всегда между $\frac{3}{5}$ и $1$, она ограничена.